强化学习 7——Deep Q-Learning（DQN）公式推导

上篇文章强化学习——状态价值函数逼近介绍了价值函数逼近（Value Function Approximation，VFA）的理论，本篇文章介绍大名鼎鼎的DQN算法。DQN算法是 DeepMind 团队在2015年提出的算法，对于强化学习训练苦难问题，其开创性的提出了两个解决办法，在atari游戏上都有不俗的表现。论文发表在了 Nature 上，此后的一些DQN相关算法都是在其基础上改进，可以说是打开了深度强化学习的大门，意义重大。

论文地址：Mnih, Volodymyr; et al. (2015). Human-level control through deep reinforcement learning

一、DQN简介

其实DQN就是 Q-Learning 算法 + 神经网络。我们知道，Q-Learning 算法需要维护一张 Q 表格，按照下面公式来更新：

\[Q(S_t, A_t) \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha[R_{t+1} + \gamma \; max_aQ(S_{t+1}, a) - Q(S_t, A_t)] \]

然后学习的过程就是更新 这张 Q表格，如下图所示：

而DQN就是用神经网络来代替这张 Q 表格，其余相同，如下图：

其更新方式为：

\[Q(S_t, A_t, w) \leftarrow Q(S_t, A_t, w) + \alpha[R_{t+1} + \gamma\;max_a\; \hat{q}(s_{t+1}, a_t, w) - Q(S_t, A_t, w)] \]

其中 \(\Delta w\) :

\[\Delta w = \alpha ({\color{red}R_{t+1} + \gamma\;max_a\; \hat{q}(s_{t+1}, a_t, w)} - \hat{q}{(s_t, s_t, w)})\cdot \nabla_w\hat{q}{(s_t, a_t, w)} \]

二、Experience replay

DQN 第一个特色是使用 Experience replay ，也就是经验回放，为何要用经验回放？还请看下文慢慢详述

对于网络输入，DQN 算法是把整个游戏的像素作为 神经网络的输入，具体网络结构如下图所示：

第一个问题就是样本相关度的问题，因为在强化学习过程中搜集的数据就是一个时序的玩游戏序列，游戏在像素级别其关联度是非常高的，可能只是在某一处特别小的区域像素有变化，其余像素都没有变化，所以不同时序之间的样本的关联度是非常高的，这样就会使得网络学习比较困难。

DQN的解决办法就是 经验回放（Experience replay）。具体来说就是用一块内存空间 \(D\) ，用来存储每次探索获得数据 \(<s_t, a_t, r_t, s_{t+1}>\) 。然后按照以下步骤重复进行：

• sample：从 \(D\) 中取出一个 batch 的数据 \((s, a, r, s') \in D\)
• 对于取出的样本数据计算 Target 值：\(r + \gamma\; max_{a'}\hat{Q}(s',a',w)\)
• 使用随机梯度下降来更新网络权重 w：

\[\Delta w = \alpha (r + \gamma\;max_{a'}\; \hat{Q}(s', a', w) - \hat{Q}{(s, s, w)})\cdot \nabla_w\hat{Q}{(s, a, w)} \]

利用经验回放，可以充分发挥 off-policy 的优势，behavior policy 用来搜集经验数据，而 target policy 只专注于价值最大化。

三、Fixed Q targets

第二个问题是前文已经说过的，我们使用 \(\hat{q}(s_t, a_t, w)\) 来代替 TD Target，也就是说在TD Target 中已经包含我了我们要优化的 参数 w。也就是说在训练的时候 监督数据 target 是不固定的，所以就使得训练比较困难。

想象一下，我们把 我们要估计的 \(\hat{Q}\) 叫做 Q estimation，把它看做一只猫。把我们的监督数据 Q Target 看做是一只老鼠，现在可以把训练的过程看做猫捉老鼠的过程（不断减少之间的距离，类比于我们的 Q estimation 网络拟合 Q Target 的过程）。现在问题是猫和老鼠都在移动，这样猫想要捉住老鼠是比较困难的，如下所示：

那么我们让老鼠在一段时间间隔内不动（固定住），而这期间，猫是可以动的，这样就比较容易抓住老鼠了。在 DQN 中也是这样解决的，我们有两套一样的网络，分别是 Q estimation 网络和 Q Target 网络。要做的就是固定住 Q target 网络，那如何固定呢？比如我们可以让 Q estimation 网路训练10次，然后把 Q estimation 网络更新后的参数 w 赋给 Q target 网络。然后我们再让Q estimation 网路训练10次，如此往复下去，试想如果不固定 Q Target 网络，两个网络都在不停地变化，这样 拟合是很困难的，如果我们让 Q Target 网络参数一段时间固定不变，那么拟合过程就会容易很多。下面是 DQN 算法流程图：

如上图所示，首先智能体不断与环境交互，获取交互数据\(<s,a,r,s'>\)存入replay memory ，当经验池中有足够多的数据后，从经验池中 随机取出一个 batch_size 大小的数据，利用当前网络计算 Q的预测值，使用 Q-Target 网络计算出 Q目标值，然后计算两者之间的损失函数，利用梯度下降来更新当前 网络参数，重复若干次后，把当前网络的参数 复制给 Q-Target 网络。

关于DQN的实现代码部分我们下篇介绍

参考资料：

• B站 周老师的 强化学习纲要第四课下