空间换时间，把递归的时间复杂度降低到O(2n)

　　递归算法的时间复杂度除非只有前两项，否则都不是线性的，并且相当耗费内存。我们用最常见的的fibonacci数列来说明：

function fibonacci(n){
    if( n === 0 || n === 1){
        return n;
    } else {
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
    }
}

 　　这是一种最常见的写法，这种写法极其耗费内存，当参数n大于30时，就会明显感觉到花的时间比较长，如果n等于100，浏览器极有可能会崩溃掉。

　　我们来分析一下耗费内存和时间原因：先将要计算的变量值存到堆栈中，不停地使用栈，保存现场，直到递归结束条件满足时，才从堆栈中取出要计算的变量值，再一一恢复现场，计算得到最终结果。

　　我们通过一张图来看一下这个递归的调用过程：

　　我们可以看到，当n为4时，一共进行了12步运算，其中第6、8、9、10、11步是重复的。正是这些重复的地方造成了这个递归的低效。

　　既然找到了原因所在，那么我们怎么来改进呢？

　　从原因下手，原因是之前的计算结果没有保存，造成了重复计算，那么我们就把之前的计算结果用一个变量保存起来，修改后的代码如下：

var fibonacci=(function(){
    var temp={},
        value;
    function f(n){
        if(n in temp){
            value=temp[n];
        } else {
            if( n === 0 || n === 1){
                value = n;
            } else {
                value = f(n - 1) + f(n - 2);
            }
            temp[n] = value;
        }
        return value;
    }
    return f;
})();

　　这里我们引入了一个变量temp来存储前面的计算结果，这种做法就是以空间换时间的做法。由于递归总是要到达最底层，然后再回到最顶层，所以时间复杂度最小为O(2n)，我们修改后的递归算法时间复杂度即为O(2n)。

　　最后，我们来测试一下计算n为100的情况时间和计算次数：

　　我们可以看到，时间很短，计算次数只有199次。如果用没有优化的代码，我的浏览器会崩溃掉。

　　希望本文对大家有所帮助，欢迎留言讨论。

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