二分图匹配

二分图匹配

之前写过二分图匹配的博客，但就是感觉看了那篇博客也无法真正懂得二分图匹配，所以就再写一篇了。

先普及一下概念：

二分图：可以被分为两个子集且保证每个子集中的元素不直接相连的图。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过未匹配边，匹配边，未匹配边......形成的路径叫做交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，经过交替路，如果途径一个未匹配点，就把走过的路径叫做增广路。

最大匹配：在一个图的所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

完美匹配：一个图的所有顶点都是匹配点，那么这个图就是最大匹配。

从增广路的定义上我们可以发现，每一条增广路所包含的未匹配点总比匹配点多一个。如果把增广路的所有匹配点变为未匹配点，未匹配点变为匹配点，每进行这样一次操作，未匹配点都会变少一个。我们可以每次在这个图上寻找增广路，然后进行这样的操作，直到在这个图上找不到增广路为止。而进行完这些操作后，所形成的图就是一个最大匹配的图。

下面用DFS来实现：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 42000
int next[N],to[N],num,head[N],vis[N],used[N],n,m,a,b,ans;
void add(int false_from,int false_to){
    next[++num]=head[false_from];
    to[num]=false_to;
    head[false_from]=num;
}
int dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
        if(!vis[to[i]]){
            vis[to[i]]=1;
            if(!used[to[i]]||dfs(used[to[i]])){
                used[to[i]]=x;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!vis[i]){
            memset(used,0,sizeof(used));
            if(dfs(i))
                ans++;
        }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}