动物园|KMP|题解

[NOI2014] 动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解 KMP 算法。

园长：“对于一个字符串 $S$，它的长度为 $L$。我们可以在 $O(L)$ 的时间内，求出一个名为 $\mathrm{next}$ 的数组。有谁预习了 $\mathrm{next}$ 数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串 $S$ 的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 $\mathrm{next}[i]$。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例 $S$ 为 $\mathtt{\text{abcababc}}$，则 $\mathrm{next}[5]=2$。因为$S$的前$5$个字符为 $\mathtt{\text{abcab}}$，$\mathtt{\text{ab}}$ 既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 $\mathrm{next}[1]=\mathrm{next}[2]=\mathrm{next}[3]=0$，$\mathrm{next}[4]=\mathrm{next}[6]=1$，$\mathrm{next}[7]=2$，$\mathrm{next}[8]=3$。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 $O(L)$ 的时间内求出 $\mathrm{next}$ 数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP 算法只能求出 $\mathrm{next}$ 数组。我现在希望求出一个更强大 $\mathrm{num}$ 数组一一对于字符串 $S$ 的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $\mathrm{num}[i]$。例如 $S$ 为 $\mathtt{\text{aaaaa}}$，则 $\mathrm{num}[4]=2$。这是因为$S$的前 $4$ 个字符为 $\mathtt{\text{aaaa}}$，其中 $\mathtt{\text{a}}$ 和 $\mathtt{\text{aa}}$ 都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 $\mathtt{\text{aaa}}$ 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，$\mathrm{num}[1]=0,\mathrm{num}[2]=\mathrm{num}[3]=1,\mathrm{num}[5]=2$。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出$\mathrm{num}$数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 $\mathrm{num}[i]$ 分别是多少，你只需要输出所有 $(\mathrm{num}[i]+1)$ 的乘积，对 ${10}^9+7$ 取模的结果即可。

输入格式

第 $1$ 行仅包含一个正整数 $n$，表示测试数据的组数。
随后 $n$ 行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 $S$，$S$ 的定义详见题目描述。数据保证 $S$ 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式

包含 $n$ 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 ${10}^9+7$ 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

样例 #1

样例输入 #1

3
aaaaa
ab
abcababc

样例输出 #1

36
1
32

提示

测试点编号	约定
1	$n\le 5,L\le 50$
2	$n\le 5,L\le 200$
3	$n\le 5,L\le 200$
4	$n\le 5,L\le 10,000$
5	$n\le 5,L\le 10,000$
6	$n\le 5,L\le 100,000$
7	$n\le 5,L\le 200,000$
8	$n\le 5,L\le 500,000$
9	$n\le 5,L\le 1,000,000$
10	$n\le 5,L\le 1,000,000$
题目链接

这个题确实能够加深自己对KMP的理解.

题意是比较奇怪的,它让我们求一个串的所有前缀不重叠的border个数之积.
思路比较好想,先求出所有的前缀函数,然后让它跳转到第一个比它长度的二分之一小的border处.
然后将这个border的border个数传给我们当前需要知道结果的串,即为当前串的结果.
但是很遗憾的是这样写会T,因为它可能会安排像aaaaaaaaaa...这样的数据.
那我们现在按前缀函数的规则一个一个进行跳转,那必然会T.
所以说就需要有优化方案.
在我们求前缀函数的过程中我们就可以求出每个串的border个数,同时我们知道比当前串长的二分之一小的最大border的border个数是答案.
所以我们求答案时可以每一次都保证当前的border的末位没有跳转到下一个串长的二分之一处.
这样我们的跳转就减少大半,从上一个串的最长合法border开始尝试扩展border,若两点的字符匹配且border长度满足条件,则该border合法.
那么框架就出来了,剩下的就是代码了.
注:有一些对于KMP的写法的新理解.
首先以前的模板是这样的:

void get_pre()
{
	for(int i=1;i<len;++i)
	{
		int j=pi[i-1];
		while((s[i]^s[j])&&j)j=pi[j-1];
		if(s[i]^s[j])pi[i]=j;
		else pi[i]=j+1;
	}
}

但是事实上我们每一次都要用到前面的pi值且我们每一次进行转移的j及j-1分别表示border长度以及对于border的末位.
所以可以更改为:

void get_pre()
{
	for(int i=1,j=0;i<len;++i)
	{//这里让长度为j的border的pi值对应j-1位,每次转移的时候直接用j=pi[j]即可.
		while(j&&(s[j]^s[i]))j=pi[j];
		j+=(s[i]==s[j]);
		pi[i+1]=j;
	}
}

这种模板更会灵活一些.

正解:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=1e6+500,mod=1e9+7;
int n,num[N],pi[N],len;
ll ans;
char s[N];
void get_pre()
{
	num[1]=1;
	for(int i=1,j=0;i<len;++i)
	{
		while(j&&(s[j]^s[i]))j=pi[j];
		j+=(s[i]==s[j]);
		pi[i+1]=j;
		num[i+1]=num[j]+1;
	}
}
void get_num()
{
    for(int i=1,j=0;i<len;++i)
    {
        while(j&&(s[i]^s[j]))j=pi[j];
    	j+=(s[i]==s[j]);
        while((j<<1)>i+1) j=pi[j];
        ans=(ans*(num[j]+1))%mod;
    }
}
void init()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n)
	{
		memset(num,0,sizeof(num));
		ans=1;
		scanf("%s",s);
		len=strlen(s);
//		printf("%d\n",len);
		get_pre();get_num();
		printf("%lld\n",ans);
		--n;
	}
}
int main()
{
	init();
	return 0;
 }