筛法板子

发现自己一般推完莫反后不会筛，所以回来看看。
常用线性筛来筛质数同时得到各个积性函数的值。
先说几个常用的东西怎么筛，首先约数个数和的筛法.
$O (n l o g n)$ 的筛法是显然的，不多说(调和级数枚举倍数)。
注：下面p为质数,s为n中分解出的质因子的指数。
就还是先看我们要求的目标，直接唯一分解定理，我们的目标是 $d_{x}$ 为约数个数。

d_{x} = \prod_{p_{i} | x} s_{i} + 1

然后这个东西还是分情况讨论去筛。
对于质因数来说， $d_{x} = 2$
考虑我们现在找到一个不能整除x的质因数：

d_{x \times p_{i}} = d_{x} \times 2

这个显然。
如果找到一个可以整除x的质因数, $s_{i}$ 是x的质因子 $p_{i}$ 的指数：

d_{x \times p_{i}} = d_{x} / (s_{i} + 1) \times (s_{i} + 2)

这个可以维护下 $s_{i}$ ,那么:

s_{i_{(x \times p_{i})}} = s_{i_{x}} + 1

对于质数该值为1，然后直接筛即可。

f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i]) p[++tot]=i,f[i]=2,g[i]=1;
	for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++){
		int tmp=i*p[j];
		vis[tmp]=1;
		if(i%p[j]==0){
			mu[tmp]=0;
			g[tmp]=g[i]+1;
			f[tmp]=f[i]/(g[i]+1)*(g[tmp]+1);
			break;
		}
		g[tmp]=1;
		f[tmp]=f[i]*[g[tmp]+1];
		mu[tmp]=-mu[i];
	}
}

然后是约数和。
$O (n l o g n)$ 不说了。
考虑将一个数根据唯一分解定理分解。

n = \prod_{p_{i} | n} p_{i}^{s_{i}}

那么有n的约数和 $σ (n)$ 满足

σ (n) = \prod_{p_{i} | n} \sum_{j = 0}^{s_{i}} p_{i}^{j}

筛的时候只有两种情况，一种该因数在当前基数i中没有出现过。
那么有：

σ (i \times p_{k}) = σ (i) \times (p_{k} + 1)

另外一种情况则是该因数出现过( $s_{k}$ 表示在i中 $p_{k}$ 的指数)：

σ (i \times p_{k}) = σ (i) \times \sum_{j = 0}^{s_{k} + 1} p_{k}^{j} / \sum_{j = 0}^{s_{k}} p_{k}^{j}

然后可以发现后面的两个东西可以单独维护，而且二者之间存在关系(设该值在i上为 $g_{i}$ )：

g_{i \times p_{k}} = g_{i} \times p_{k} + 1

然后就可以线性筛了。

mu[1]=1,g[1]=1,f[1]=1;
for(int i=2;i<=s;++i){
	if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1;
	for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=s;++j){
		int tmp=i*p[j];
		vis[tmp]=1;
		if(!(i%p[j])){
			mu[tmp]=0;
			g[tmp]=g[i]*p[j]+1;
			f[tmp]=f[i]/g[i]*g[tmp];
			break;
		}
		g[tmp]=p[j]+1;
		f[tmp]=f[tmp]*f[p[j]];
		mu[tmp]=-mu[i];
	}
}

因为有

\sum_{i = 0}^{k} x^{k} = (x^{k + 1} - 1) / (x - 1)

这个东西还可以写成另一个形式:

mu[1]=f[1]=g[1]=1;
for(int i=2;i<=s;++i){
	if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1,pw[i]=i*i,f[i]=i+1;
	for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<=s;++j){
		int tmp=i*p[j];
		vis[tmp]=1;
		if(!(i%p[j])){
			mu[tmp]=0;
			pw[tmp]=pw[i]*p[j];
			f[tmp]=f[i]*(pw[tmp]-1)/(pw[i]-1);
			break;
		}
		pw[tmp]=p[j]*p[j];
		f[tmp]=f[tmp]*f[p[j]];
		mu[tmp]=-mu[i];
	}
}