CF1907G Lights 题解

每次按一个开关就会改变两盏灯的状态，考虑把这种关系在一张图上表示出来。在图上把所有可能同时改变状态的灯连边，让亮灯的点的值为 $1$，不亮的为 $0$，那么每次按灯就是把连接一条边的两点的值都异或上 $1$，最终要让所有点的值都为 $0$。

由于每个点的度都大于 $1$ 且图上共有 $n$ 个点和 $n$ 条边，发现这是一个基环树森林。对每棵基环树单独考虑，对于不在环上的边组成的若干条链，先贪心地尝试消除链上值为 $1$ 的点，如果还有剩余，就转移到环上消除。如下图：

其中 $1,2,3,5$ 的值为 $1$。

这里有两种方案：

1. $1-2,3-5$
2. $1-5,2-3$

两种方案的路径在环上交替出现，选择一种更优的即可。

实现方面，由于每次只能同时消两个点，如果值为 $1$ 的点有奇数个，那么无解。对于有解的情况，先用拓扑排序找链，由于点在链上，所以只会遇到一个还未更新的点。如果当前点值为 $1$，就向下一个点转移。然后对于每个环，把两种方案所对应的边和代价都记录下来，选取更优的即可。

时间复杂度 $O(n)$，有些常数。