CF468C Hack it! 题解

题意：给出一个数 $a$，构造一组 $l,r$ 使得 $\sum _{i=l}^{r}f(i)\equiv 0(\mathrm{mod}a)$。其中 $a\le {10}^{18}$，$l,r\le {10}^{200}$。

分析：

以下用 $(l,r)$ 表示构造出来的一对 $l,r$，$f(l,r)=\sum _{i=l}^{r}f(i)$。

考虑从某个值一步一步移动到模 $a$ 余 $0$ 的情况。如果选择 $(0,9)$，发现 $f(1,10)=f(0,9)+1$。这很好理解，$f(1,10)$ 相当于 $f(0,9)-f(0)+f(10)$，$10$ 比 $0$ 的最高位多 $1$，所以使得 $f(1,10)=f(0,9)+1$。一直从 $f(0,9)$ 推到 $f(9,19)$ 都是这种情况，但是 $f(10,20)\ne f(9,19)+1$，因为 $19$ 发生了进位，导致两边低位的变化不同。如果将十位的 $1$ 移至足够高的数位，就能在移动区间的时候不发生进位。

所以，一开始我们选择 $(0,{10}^{18}-1)$，因为 $a\le {10}^{18}$，区间至多右移 ${10}^{18}$ 次，不会发生进位。不难发现，现在需要移动的步数就是 $a-f(0,{10}^{18}-1)\mathrm{\%}a$。通过简单的计算，得到 $f(0,{10}^{18}-1)=45\times 18\times {10}^{17}=81\times {10}^{18}$，于是答案为 $(81\times {10}^{18}\mathrm{\%}a,{10}^{18}-1+81\times {10}^{18}\mathrm{\%}a)$。