Trie学习笔记

介绍

Trie树可以快速查找字符串，通过合并前缀来节省空间，一般用于解决字符串和最大异或和（01Trie）问题。

一般在插入字符串时，会在串的尾部打上标记，用于统计类问题。

题目

P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

思路

假设在树上任取两点，当两点异或值最大时，点的编号为 $x$ 和 $y$，那么子树内不包含这两个点的点的答案都为 $a_x\oplus a_y$。

可以发现这些点都不在 $x\to 1$ 和 $y\to 1$ 上，于是对这两类点分讨。

实现

全部数中的异或最大值显然可以用 01Trie 解决，于是先预处理 $x$ 和 $y$，然后暴力找到 $x\to 1$ 和 $y\to 1$。对于这两条路径，从根开始遍历，每次把每个非链上的儿子所在的子树加入 $trie$，然后再顺着链往下跑。

因为 $x,y$ 都不固定，所以每次加入时都要查询一次并取最值。

code:(耗时 5h T^T)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//#define int long long
//#define int unsigned long long
using namespace std;
//const int p=415411;
const int iinf=2147483647;
const long long linf=9223372036854775807;
const int N=5e5+10;
int n,fa[N],mx,my,nxt[N];
long long a[N],ans[N],maxn;
bool fl[N];
vector<int> g[N];
struct Trie
{
	int len=1,t[N*64][2],g[70],end[N*64];
	void init()
	{
		maxn=0;
		memset(t,0,sizeof(t));
		memset(end,0,sizeof(end));
		len=1;
	}
	void ins(int id)
	{
		long long x=a[id];
		for(int i=1;i<=60;i++)g[i]=x%2,x/=2;
		int now=1;
		for(int i=60;i>=1;i--)//逆序!!1111
		{
			if(!t[now][g[i]])t[now][g[i]]=len+1,len++;
			now=t[now][g[i]];
		}
		end[now]=id;
	}
	int que(long long x)
	{
		for(int i=1;i<=60;i++)g[i]=x%2,x/=2;
		int now=1;
		for(int i=60;i>=1;i--)
		{
			if(t[now][g[i]^1])now=t[now][g[i]^1];
			else if(t[now][g[i]])now=t[now][g[i]];
			else return 0;
		}
		return end[now];
	}
}tr;
int find(int x,int y)
{
	fl[x]=1;
	while(x!=1)nxt[fa[x]]=x,x=fa[x],fl[x]=1;
	fl[y]=1;//
	while(!fl[fa[y]])
	{
		nxt[fa[y]]=y;
		fl[fa[y]]=1,y=fa[y];
	}
	return y;
}
void find2(int x)
{
	while(x!=1)nxt[fa[x]]=x,x=fa[x];
}
void dfs2(int x)
{
	tr.ins(x);
	maxn=max(maxn,a[x]^a[tr.que(a[x])]);
	for(int v:g[x])dfs2(v);
}
void dfs(int x)
{
	ans[x]=maxn;
	int q=tr.que(a[x]);
	if(q)maxn=max(maxn,a[x]^a[q]);
   //注意一定要在有值的时候才更新，不然会被根和儿子相同的情况卡掉T^T
	tr.ins(x);
	for(int v:g[x])
	{
		if(v==nxt[x])continue;
		dfs2(v);
	}
	if(nxt[x])dfs(nxt[x]);
}
signed main()
{
	tr.init();
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&fa[i]);
		g[fa[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		int id=tr.que(a[i]);
		tr.ins(i);
		if(id&&(a[id]^a[i])>=maxn)maxn=(a[id]^a[i]),mx=id,my=i;
	}
	long long mmm=maxn;
	int lca=find(mx,my);//找链
	tr.init();
	dfs(1);
	tr.init();
	find2(lca);
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!fl[i])ans[i]=mmm;//不在链上
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
}

P4735 最大异或和

思路

可持久化 $01trie$ 板子。

维护一个前缀异或和序列 $b$，每个询问变为 $ma{x}_{l-1}^{r-1}{b}_i\oplus b_n\oplus x$，$b_n\oplus x$ 为定值，预处理即可。

实现

code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//#define int long long
//#define int unsigned long long
using namespace std;
//const int p=415411;
const int iinf=2147483647;
const long long linf=9223372036854775807;
const int N=6e5+10;
int n,m,len=1,rt[N],t[N*30][2],a[N],qt=1,cnt[N*30],l,r,x;
char ch;
void ins(int q,int p,int w,int x)
{
	if(w<0)return;
	int now=(x>>w)&1;
	t[q][now^1]=t[p][now^1];
	t[q][now]=qt;
	qt++;
	cnt[t[q][now]]=cnt[t[p][now]]+1;
	ins(t[q][now],t[p][now],w-1,x);
}
int que(int p,int q,int w,int x)
{
	if(w<0)return 0;
	int now=(x>>w)&1;
	if(cnt[t[q][now^1]]>cnt[t[p][now^1]])return (1<<w)+que(t[p][now^1],t[q][now^1],w-1,x);
	return que(t[p][now],t[q][now],w-1,x);
}
signed main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	rt[0]=qt;
	qt++;
	ins(rt[0],0,25,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]^=a[i-1];
		rt[i]=qt;
		qt++;
		ins(rt[i],rt[i-1],25,a[i]);
	}
	while(m--)
	{
		cin>>ch;
		if(ch=='A')
		{
			cin>>x;
			n++;
			a[n]=a[n-1]^x;
			rt[n]=qt;
			qt++;
			ins(rt[n],rt[n-1],25,a[n]);
		}
		if(ch=='Q')
		{
			cin>>l>>r>>x;
			l--,r--;
			if(!l)cout<<que(0,rt[r],25,x^a[n])<<endl;
			else cout<<que(rt[l-1],rt[r],25,x^a[n])<<endl;
		}
	}
}

P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子