机器学习经典算法之SVM
SVM 的英文叫 Support Vector Machine，中文名为支持向量机。它是常见的一种分类方法，在机器学习中，SVM 是有监督的学习模型。
什么是有监督的学习模型呢？它指的是我们需要事先对数据打上分类标签，这样机器就知道这个数据属于哪个分类。同样无监督学习，就是数据没有被打上分类标签，这可能是因为我们不具备先验的知识，或者打标签的成本很高。所以我们需要机器代我们部分完成这个工作，比如将数据进行聚类，方便后续人工对每个类进行分析。SVM 作为有监督的学习模型，通常可以帮我们模式识别、分类以及回归分析。
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一、SVM 的工作原理
用 SVM 计算的过程就是帮我们找到一个超平面，能够将样本区分的过程，这个超平面就是我们的 SVM 分类器。
比如下图所示的直线 A、直线 B 和直线 C，究竟哪种才是更好的划分呢？
很明显图中的直线 B 更靠近蓝色球，但是在真实环境下，球再多一些的话，蓝色球可能就被划分到了直线 B 的右侧，被认为是红色球。同样直线 A 更靠近红色球，在真实环境下，如果红色球再多一些，也可能会被误认为是蓝色球。所以相比于直线 A 和直线 B，直线 C 的划分更优，因为它的鲁棒性更强。
那怎样才能寻找到直线 C 这个更优的答案呢？这里，我们引入一个 SVM 特有的概念： 分类间隔。
实际上，我们的分类环境不是在二维平面中的，而是在多维空间中，这样直线 C 就变成了决策面 C。
在保证决策面不变，且分类不产生错误的情况下，我们可以移动决策面 C，直到产生两个极限的位置：如图中的决策面 A 和决策面 B。极限的位置是指，如果越过了这个位置，就会产生分类错误。这样的话，两个极限位置 A 和 B 之间的分界线 C 就是最优决策面。极限位置到最优决策面 C 之间的距离，就是“分类间隔”，英文叫做 margin。
如果我们转动这个最优决策面，你会发现可能存在多个最优决策面，它们都能把数据集正确分开，这些最优决策面的分类间隔可能是不同的，而那个拥有“最大间隔”（max margin）的决策面就是 SVM 要找的最优解。
点到超平面的距离公式
在上面这个例子中，如果我们把红蓝两种颜色的球放到一个三维空间里，你发现决策面就变成了一个平面。这里我们可以用线性函数来表示，如果在一维空间里就表示一个点，在二维空间里表示一条直线，在三维空间中代表一个平面，当然空间维数还可以更多，这样我们给这个线性函数起个名称叫做“超平面”。超平面的数学表达可以写成：
在这个公式里，w、x 是 n 维空间里的向量，其中 x 是函数变量；w 是法向量。法向量这里指的是垂直于平面的直线所表示的向量，它决定了超平面的方向。
SVM 就是帮我们找到一个超平面 ，这个超平面能将不同的样本划分开，同时使得样本集中的点到这个分类超平面的最小距离（即分类间隔）最大化。
在这个过程中， 支持向量 就是离 分类超平面 最近的样本点，实际上如果确定了支持向量也就确定了这个超平面。所以支持向量决定了分类间隔到底是多少，而在最大间隔以外的样本点，其实对分类都没有意义。
所以说， SVM 就是求解最大分类间隔的过程，我们还需要对分类间隔的大小进行定义。
首先，我们定义某类样本集到超平面的距离是这个样本集合内的样本到超平面的最短距离。我们用 di 代表点 xi 到超平面 wxi+b=0 的欧氏距离。因此我们要求 di 的最小值，用它来代表这个样本到超平面的最短距离。di 可以用公式计算得出：
其中||w||为超平面的范数，di 的公式可以用解析几何知识进行推导，这里不做解释。
最大间隔的优化模型
我们的目标就是找出所有分类间隔中最大的那个值对应的超平面。在数学上，这是一个凸优化问题（凸优化就是关于求凸集中的凸函数最小化的问题，这里不具体展开）。通过凸优化问题，最后可以求出最优的 w 和 b，也就是我们想要找的最优超平面。中间求解的过程会用到拉格朗日乘子，和 KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。数学公式比较多，这里不进行展开。
硬间隔、软间隔和非线性 SVM
假如数据是完全的线性可分的，那么学习到的模型可以称为硬间隔支持向量机。 换个说法，硬间隔指的就是完全分类准确，不能存在分类错误的情况。软间隔，就是允许一定量的样本分类错误。
我们知道，实际工作中的数据没有那么“干净”，或多或少都会存在一些噪点。所以线性可分是个理想情况。这时，我们需要使用到软间隔 SVM（近似线性可分），比如下面这种情况：
另外还存在一种情况，就是非线性支持向量机。
比如下面的样本集就是个非线性的数据。图中的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状。那么这种情况下，不论是多高级的分类器，只要映射函数是线性的，就没法处理，SVM 也处理不了。这时，我们需要引入一个新的概念： 核函数。它可以将样本从原始空间映射到一个更高维的特质空间中，使得样本在新的空间中线性可分 。这样我们就可以使用原来的推导来进行计算，只是所有的推导是在新的空间，而不是在原来的空间中进行。
所以在非线性 SVM 中，核函数的选择就是影响 SVM 最大的变量。最常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核、拉普拉斯核、sigmoid 核，或者是这些核函数的组合。这些函数的区别在于映射方式的不同。通过这些核函数，我们就可以把样本空间投射到新的高维空间中。
当然软间隔和核函数的提出，都是为了方便我们对上面超平面公式中的 w* 和 b* 进行求解，从而得到最大分类间隔的超平面。
二、 用 SVM 如何解决多分类问题
SVM 本身是一个二值分类器，最初是为二分类问题设计的，也就是回答 Yes 或者是 No。而实际上我们要解决的问题，可能是多分类的情况，比如对文本进行分类，或者对图像进行识别。
针对这种情况，我们可以将多个二分类器组合起来形成一个多分类器，常见的方法有“一对多法”和“一对一法”两种。
1. 一对多法
假设我们要把物体分成 A、B、C、D 四种分类，那么我们可以先把其中的一类作为分类 1，其他类统一归为分类 2。这样我们可以构造 4 种 SVM，分别为以下的情况：
（1）样本 A 作为正集，B，C，D 作为负集；
（2）样本 B 作为正集，A，C，D 作为负集；
（3）样本 C 作为正集，A，B，D 作为负集；
（4）样本 D 作为正集，A，B，C 作为负集。
这种方法，针对 K 个分类，需要训练 K 个分类器，分类速度较快，但训练速度较慢，因为每个分类器都需要对全部样本进行训练，而且负样本数量远大于正样本数量，会造成样本不对称的情况，而且当增加新的分类，比如第 K+1 类时，需要重新对分类器进行构造。
2. 一对一法
一对一法的初衷是想在训练的时候更加灵活。我们可以在任意两类样本之间构造一个 SVM，这样针对 K 类的样本，就会有 C(k,2) 类分类器。
比如我们想要划分 A、B、C 三个类，可以构造 3 个分类器：
（1）分类器 1：A、B；
（2）分类器 2：A、C；
（3）分类器 3：B、C。
当对一个未知样本进行分类时，每一个分类器都会有一个分类结果，即为 1 票，最终得票最多的类别就是整个未知样本的类别。
这样做的好处是，如果新增一类，不需要重新训练所有的 SVM，只需要训练和新增这一类样本的分类器。而且这种方式在训练单个 SVM 模型的时候，训练速度快。
但这种方法的不足在于，分类器的个数与 K 的平方成正比，所以当 K 较大时，训练和测试的时间会比较慢。
三、 如何在 sklearn 中使用 SVM
在 Python 的 sklearn 工具包中有 SVM 算法，首先需要引用工具包：
1 from sklearn import svm
SVM 既可以做回归，也可以做分类器。
当用 SVM 做回归的时候，我们可以使用 SVR 或 LinearSVR。SVR 的英文是 Support Vector Regression。这篇文章只讲分类，这里只是简单地提一下。
当做分类器的时候，我们使用的是 SVC 或者 LinearSVC。SVC 的英文是 Support Vector Classification。
我简单说一下这两者之前的差别。
从名字上你能看出 LinearSVC 是个线性分类器，用于处理线性可分的数据，只能使用线性核函数。上一节，我讲到 SVM 是通过核函数将样本从原始空间映射到一个更高维的特质空间中，这样就使得样本在新的空间中线性可分。
如果是针对非线性的数据，需要用到 SVC。在 SVC 中，我们既可以使用到线性核函数（进行线性划分），也能使用高维的核函数（进行非线性划分）。
如何创建一个 SVM 分类器呢？
我们首先使用 SVC 的构造函数：model = svm.SVC(kernel=‘rbf’, C=1.0, gamma=‘auto’)，这里有三个重要的参数 kernel、C 和 gamma。
kernel 代表核函数的选择，它有四种选择，只不过默认是 rbf，即高斯核函数。
linear：线性核函数
poly：多项式核函数
rbf：高斯核函数（默认）
sigmoid：sigmoid 核函数
这四种函数代表不同的映射方式，你可能会问，在实际工作中，如何选择这 4 种核函数呢？我来给你解释一下：
线性核函数，是在数据线性可分的情况下使用的，运算速度快，效果好。不足在于它不能处理线性不可分的数据。
多项式核函数可以将数据从低维空间映射到高维空间，但参数比较多，计算量大。
高斯核函数同样可以将样本映射到高维空间，但相比于多项式核函数来说所需的参数比较少，通常性能不错，所以是默认使用的核函数。
了解深度学习的同学应该知道 sigmoid 经常用在神经网络的映射中。因此当选用 sigmoid 核函数时，SVM 实现的是多层神经网络。
上面介绍的 4 种核函数，除了第一种线性核函数外，其余 3 种都可以处理线性不可分的数据。
参数 C 代表目标函数的惩罚系数，惩罚系数指的是分错样本时的惩罚程度，默认情况下为 1.0。当 C 越大的时候，分类器的准确性越高，但同样容错率会越低，泛化能力会变差。相反，C 越小，泛化能力越强，但是准确性会降低。
参数 gamma 代表核函数的系数，默认为样本特征数的倒数，即 gamma = 1 / n_features。
在创建 SVM 分类器之后，就可以输入训练集对它进行训练。我们使用 model.fit(train_X,train_y)，传入训练集中的特征值矩阵 train_X 和分类标识 train_y。特征值矩阵就是我们在特征选择后抽取的特征值矩阵（当然你也可以用全部数据作为特征值矩阵）；分类标识就是人工事先针对每个样本标识的分类结果。这样模型会自动进行分类器的训练。我们可以使用 prediction=model.predict(test_X) 来对结果进行预测，传入测试集中的样本特征矩阵 test_X，可以得到测试集的预测分类结果 prediction。
同样我们也可以创建线性 SVM 分类器，使用 model=svm.LinearSVC()。在 LinearSVC 中没有 kernel 这个参数，限制我们只能使用线性核函数。由于 LinearSVC 对线性分类做了优化，对于数据量大的线性可分问题，使用 LinearSVC 的效率要高于 SVC。
如果你不知道数据集是否为线性，可以直接使用 SVC 类创建 SVM 分类器。
在训练和预测中，LinearSVC 和 SVC 一样，都是使用 model.fit(train_X,train_y) 和 model.predict(test_X)。
四、 如何用 SVM 进行乳腺癌检测
在了解了如何创建和使用 SVM 分类器后，我们来看一个实际的项目，数据集来自美国威斯康星州的乳腺癌诊断数据集， 点击这里进行下载。
医疗人员采集了患者乳腺肿块经过细针穿刺 (FNA) 后的数字化图像，并且对这些数字图像进行了特征提取，这些特征可以描述图像中的细胞核呈现。肿瘤可以分成良性和恶性。部分数据截屏如下所示：
数据表一共包括了 32 个字段，代表的含义如下：
上面的表格中，mean 代表平均值，se 代表标准差，worst 代表最大值（3 个最大值的平均值）。每张图像都计算了相应的特征，得出了这 30 个特征值（不包括 ID 字段和分类标识结果字段 diagnosis），实际上是 10 个特征值（radius、texture、perimeter、area、smoothness、compactness、concavity、concave points、symmetry 和 fractal_dimension_mean）的 3 个维度，平均、标准差和最大值。这些特征值都保留了 4 位数字。字段中没有缺失的值。在 569 个患者中，一共有 357 个是良性，212 个是恶性。
好了，我们的目标是生成一个乳腺癌诊断的 SVM 分类器，并计算这个分类器的准确率。 首先加载数据并对数据做部分的探索：
1 # 加载数据集，你需要把数据放到目录中
1 data = pd.read_csv("./data.csv")
1 # 数据探索
2 # 因为数据集中列比较多，我们需要把 dataframe 中的列全部显示出来
3 pd.set_option('display.max_columns', None)
4 print(data.columns)
5 print(data.head(5))
6 print(data.describe())
这是部分的运行结果，完整结果你可以自己跑一下。
1 Index(['id', 'diagnosis', 'radius_mean', 'texture_mean', 'perimeter_mean',
2 'area_mean', 'smoothness_mean', 'compactness_mean', 'concavity_mean',
3 'concave points_mean', 'symmetry_mean', 'fractal_dimension_mean',
4 'radius_se', 'texture_se', 'perimeter_se', 'area_se', 'smoothness_se',
5 'compactness_se', 'concavity_se', 'concave points_se', 'symmetry_se',
6 'fractal_dimension_se', 'radius_worst', 'texture_worst',
7 'perimeter_worst', 'area_worst', 'smoothness_worst',
8 'compactness_worst', 'concavity_worst', 'concave points_worst',
9 'symmetry_worst', 'fractal_dimension_worst'],
10 dtype='object')
11 id diagnosis radius_mean texture_mean perimeter_mean area_mean \
12 0 842302 M 17.99 10.38 122.80 1001.0
13 1 842517 M 20.57 17.77 132.90 1326.0
14 2 84300903 M 19.69 21.25 130.00 1203.0
15 3 84348301 M 11.42 20.38 77.58 386.1
16 4 84358402 M 20.29 14.34 135.10 1297.0
接下来，我们就要对数据进行清洗了。
运行结果中，你能看到 32 个字段里，id 是没有实际含义的，可以去掉。diagnosis 字段的取值为 B 或者 M，我们可以用 0 和 1 来替代。另外其余的 30 个字段，其实可以分成三组字段，下划线后面的 mean、se 和 worst 代表了每组字段不同的度量方式，分别是平均值、标准差和最大值。
1 # 将特征字段分成 3 组
2 features_mean= list(data.columns[2:12])
3 features_se= list(data.columns[12:22])
4 features_worst=list(data.columns[22:32])
5 # 数据清洗
6 # ID 列没有用，删除该列
7 data.drop("id",axis=1,inplace=True)
8 # 将 B 良性替换为 0，M 恶性替换为 1
9 data['diagnosis']=data['diagnosis'].map({'M':1,'B':0})
然后我们要做特征字段的筛选，首先需要观察下 features_mean 各变量之间的关系，这里我们可以用 DataFrame 的 corr() 函数，然后用热力图帮我们可视化呈现。同样，我们也会看整体良性、恶性肿瘤的诊断情况。
1 # 将肿瘤诊断结果可视化
2 sns.countplot(data['diagnosis'],label="Count")
3 plt.show()
4 # 用热力图呈现 features_mean 字段之间的相关性
5 corr = data[features_mean].corr()
6 plt.figure(figsize=(14,14))
7 # annot=True 显示每个方格的数据
8 sns.heatmap(corr, annot=True)
9 plt.show()
这是运行的结果：
热力图中对角线上的为单变量自身的相关系数是 1。颜色越浅代表相关性越大。所以你能看出来 radius_mean、perimeter_mean 和 area_mean 相关性非常大，compactness_mean、concavity_mean、concave_points_mean 这三个字段也是相关的，因此我们可以取其中的一个作为代表。
那么如何进行特征选择呢？
特征选择的目的是降维，用少量的特征代表数据的特性，这样也可以增强分类器的泛化能力，避免数据过拟合。
我们能看到 mean、se 和 worst 这三组特征是对同一组内容的不同度量方式，我们可以保留 mean 这组特征，在特征选择中忽略掉 se 和 worst。同时我们能看到 mean 这组特征中，radius_mean、perimeter_mean、area_mean 这三个属性相关性大，compactness_mean、daconcavity_mean、concave points_mean 这三个属性相关性大。我们分别从这 2 类中选择 1 个属性作为代表，比如 radius_mean 和 compactness_mean。
这样我们就可以把原来的 10 个属性缩减为 6 个属性，代码如下：
1 # 特征选择
2 features_remain = ['radius_mean','texture_mean', 'smoothness_mean','compactness_mean','symmetry_mean', 'fractal_dimension_mean']
3 对特征进行选择之后，我们就可以准备训练集和测试集：
4 # 抽取 30% 的数据作为测试集，其余作为训练集
5 train, test = train_test_split(data, test_size = 0.3)# in this our main data is splitted into train and test
6 # 抽取特征选择的数值作为训练和测试数据
7 train_X = train[features_remain]
8 train_y=train['diagnosis']
9 test_X= test[features_remain]
10 test_y =test['diagnosis']
11 在训练之前，我们需要对数据进行规范化，这样让数据同在同一个量级上，避免因为维度问题造成数据误差：
12 # 采用 Z-Score 规范化数据，保证每个特征维度的数据均值为 0，方差为 1
13 ss = StandardScaler()
14 train_X = ss.fit_transform(train_X)
15 test_X = ss.transform(test_X)
16 最后我们可以让 SVM 做训练和预测了：
17 # 创建 SVM 分类器
18 model = svm.SVC()
19 # 用训练集做训练
20 model.fit(train_X,train_y)
21 # 用测试集做预测
22 prediction=model.predict(test_X)
23 print('准确率: ', metrics.accuracy_score(prediction,test_y))
运行结果：
1 准确率: 0.9181286549707602
准确率大于 90%，说明训练结果还不错。
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