实用算法实现-第 30 篇 组合数学

30.1    Ctalan数

PKU JudgeOnline, 1095, Trees Made to Order.

30.2    Fibonacci数

Fibonacci数列的定义如下：

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) (n >= 3)

f(1) = 1, f(2) = 2

f(0)可定义为1。

用归纳法可以证明性质：

f(n + m) = f(m - 1)f(n + 1) + f(m - 2)f(n)  (m>= 2)

利用这条性质，我们可以将比较大的n的Fibonacci数转化成比较小的Fibonacci数，从而使计算起来更为方便。

这里有一个问题：

Fibonacii数列 Fn （mod k） 的循环节长度是多少？有没有关于k的通项公式或者计算方法？

30.2.1   实例

PKU JudgeOnline, 3070, Fibonacci.

30.2.2   问题描述

给定n，要求第n个Fibonacci数mod 10000的结果。

30.2.3   输入

0

9

999999999

1000000000

-1

30.2.4   输出

0

34

626

6875

30.2.5   分析

可以通过Fibonacci的性质和模运算的性质对之进行递归求解。通过鸽巢原理可以知道输出必定是一个循环。如果知道循环节，该问题就更简单了。循环节也很好找。

30.2.6   程序

#include <iostream> #include <math.h> #include <string.h> using namespace std; #define repeatTime 50 #define __int32Max 2147483648 //0x7FFFFFFF = 2147483647 = 536870911.75 * 4 #define maxSize 5000000 int F[maxSize]; int ModularFibonacci(int n, int p) { //0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … //0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 int temp; if(n < 0) return 0; if(n < maxSize && F[n] != 0){ return F[n]; } if(n % 2 == 0){ temp = ((ModularFibonacci(n / 2 - 1, p) * ModularFibonacci(n / 2 + 1, p)) + (ModularFibonacci(n / 2 - 2, p) * ModularFibonacci(n / 2, p))) % p; }else{ temp = ((ModularFibonacci(n / 2, p) * ModularFibonacci(n / 2 + 1, p)) + (ModularFibonacci(n / 2 - 1, p) * ModularFibonacci(n / 2, p))) % p; } if(n < maxSize){ F[n] = temp; } return temp; } int main() { int n; memset(F, 0, sizeof(F)); F[0] = 1; F[1] = 1; F[2] = 2; F[3] = 3; F[4] = 5; while(cin >> n && n != -1){ cout<< ModularFibonacci(n - 1, 10000) << endl; } return 1; }
30.3    Pólya计数定理

Pólya计数定理是组合数学种一个非常重要的定理。它可以用来解决类似于计算不同着色方案数的问题。

《算法艺术与信息学竞赛》从着色方案的角度介绍了Pólya计数定理。相对于组合数学教材中的Pólya计数定理的形式化描述，该介绍较为容易理解。不过似乎该文介绍的只是Pólya计数定理的一种特殊化表达。

30.3.1   实例

PKU JudgeOnline, 2409, Let it Bead.

30.3.2   问题描述

一个手镯由c种颜色的s个珠子串起来。问对已知的c和s，手镯可以有多少种。

30.3.3   输入

11

21

22

51

25

26

62

00

30.3.4   输出

1

2

3

5

8

13

21

30.3.5   分析

这个问题是基本的着色问题。解决这类问题，可按照如下的步骤进行：

1. 分析置换群的种类和个数。

2. 分析每个置换的循环分解式和循环节。

3. 根据Pólya计数定理计算方案数。

对于这个问题，可以知道置换既可以是为旋转（rotation），也可以是翻转（reflection）。旋转和翻转的类型分别为s种。旋转每增加一个360/s度，对应于升序置换的一次循环右移。翻转轴旋转一个360/s度，对应于降序置换的一次循环右移。所以置换很容易计算出来。

有了置换的具体表示，其循环分解式和循环节就很容易计算出来了。

       对每种置换进行计算，根据公式求和，就算出了着色的不同方案。

30.3.6   程序

#include<string.h> #include<stdio.h> #include<iostream> using namespace std; int permutation[100]; int c; int s; void visit1(int i) {//输出循环分解式 int j; int temp; j = i; while(permutation[j]!= i){ cout << j <<" "; temp = permutation[j]; permutation[j] = 0; j = temp; } cout << j <<" "; permutation[j] = 0; cout << endl;; } void visit(int i) {//不输出循环分解式，仅用来计算循环节 int j; int temp; j = i; while(permutation[j]!= i){ temp = permutation[j]; permutation[j] = 0; j = temp; } permutation[j] = 0; } int cycleNum() {//计算置换的循环节 int num; int i; num = 0; for(i = 1;i <= s; i++){ if(permutation[i]!= 0) { visit(i); num++; } } return num; } int exponent(int a, intb) {//计算a^b b必须大于 int i; int temp; temp = 1; for(i = 0;i < b; i++){ temp = temp * a; } returntemp; } int main() { int i, j; intgroupSize; int sum; int temp; while(cin>> c >> s){ if(c ==0 && s == 0) { break; } //cout<< cycleNum(); sum = 0; for(i =0; i < s; i++){ for(j= 1; j <= s - i; j++){ permutation[j] = j + i; } for(;j <= s; j++){ permutation[j] = j + i - s; } temp = cycleNum(); sum += exponent(c, temp); } for(i =1; i <= s; i++){ for(j= 1; j <= i; j++){ permutation[j] = i - j + 1; } for(;j <= s; j++){ permutation[j] = i + s - j +1; } temp = cycleNum(); sum += exponent(c, temp); } groupSize = s << 1; sum = sum / groupSize; cout << sum << endl; } }

 本文章欢迎转载，请保留原始博客链接http://blog.csdn.net/fsdev/article