实用算法实现-第 16 篇 拓扑排序

16.1    拓扑排序

拓扑排序的本质是由某集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序。

16.1.1   实例

PKU JudgeOnline, 1094, Sorting It All Out.

16.1.2   问题描述

给出类似A<B的一系列关系，判断输入第几个关系的时候顺序排定，或者出现环，或者所有输入完成后仍没出现环或者排定顺序。

注意：当拓扑排序不唯一（当然也就不确定）的时候 还要判断是否有环。

注意：如果前几条不等式可以确定一个序列，那么后面的的都要被忽略，即使加上它们会发生矛盾。

16.1.3   输入

46

A<B

A<C

B<C

C<D

B<D

A<B

32

A<B

B<A

261

A<Z

0 0

16.1.4   输出

Sortedsequence determined after 4 relations: ABCD.

Inconsistencyfound after 2 relations.

Sortedsequence cannot be determined.

16.1.5   分析

每次得到一个关系式后，做一次推理。

如果得到关系A<B，那么更新已知所有比A的x都比B小，更新所有比B大的x都比A大。同时检查有无冲突，并且更新推理出的关系个数。

可以显然地知道如下结论：

1. 出现矛盾关系，当且仅当：出现A<A关系，或者出现A<B&&B<A关系。

2. 如果发现n*(n-1)/2个互不相同的不矛盾的关系，那么序列已确定。

3. 第i小的数比i-1个数小。

有了以上结论，问题很容易解出。

16.1.6   程序

#include <iostream> #include <math.h> #include <string.h> using namespace std; #define maxNum 26 int larger[maxNum][maxNum]; int smaller[maxNum][maxNum]; int smallerNum[maxNum]; int relationNum; #define SMALLER 0 #define LARGER 1 int fail; int n; void setRelation(int small, int large){ if((larger[large][small]== 1)|| (smaller[small][large] == 1)|| small == large) { fail = 1; return; } larger[small][large] = 1; smaller[large][small] = 1; smallerNum[large]++;; relationNum++; } void relation(int small, int large) { int i; if(larger[small][large]!= 0) { return; } setRelation(small, large); for(i = 0;i < n; i++){ if(smaller[small][i]== 1) { relation(i, large); } if(larger[large][i]== 1) { relation(small, i); } } } void printResult() { int i, j; for(i = 0;i < n; i++) { for(j =0; j < n; j++){ if(smallerNum[j]== i){ printf("%c", j + 'A'); } } } printf(".\n"); } int main() { int m; int i; int num; int finish; char small,large; while(scanf("%d%d", &n, &m)){ if(n ==0&& m == 0) { break; } memset(smaller, 0, sizeof(smaller)); memset(larger, 0, sizeof(larger)); memset(smallerNum, 0, sizeof(smallerNum)); relationNum = 0; fail = 0; finish = 0; num = n * (n - 1) / 2; for(i =1;i <= m; i++){ scanf("\n%c<%c",&small, &large); //printf("%c<%c\n",small, large); if(fail== 0 && relationNum < num) { relation(small - 'A', large - 'A'); if(fail== 1){ printf("Inconsistency found after %d relations.\n",i); }elseif(relationNum == num){ printf("Sorted sequence determined after %d relations:", i); printResult(); } } } if(fail== 0 && relationNum < num) { printf("Sortedsequence cannot be determined.\n"); } } }

16.2    实例

PKU JudgeOnline, 2762, Going from u to v or from v to u?.

PKU JudgeOnline, 1094, Sorting It All Out.

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