实用算法实现-第6篇 线段树
2011-10-13 21:13 myjava2 阅读(624) 评论(0) 编辑 收藏 举报6.1 线段树简介
线段树的定义如下：
一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该结点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：
若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为 T的左儿子
[(a+b)div 2,b]为T的右儿子。
若L=1 ：T为一个叶子结点。
表示区间[1, 10]的线段树表示如下：
树一般有两种形式：1、以点为结点。2、以线段为结点。区别如图：上面一个以线段为结点，下面一个以点为结点：
对线段树存在：
定理：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2logL条线段。
这个结论为线段树能在O(logL)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。
对线段树的可以进行扩展。
1. 测度。结点所表示区间中线段覆盖过的长度，存储在各结点中。
2. 独立线段数。区间中互不相交的线段条数。
3. 权和。区间所有元线段的权和。
测度的递推公式如下：
a[j] - a[i] 该结点 Count>0
M = 0 该结点为叶结点且 Count=0
Leftchild ↑ .M + Rightchild ↑ .M 该结点为内部结点且 Count=0连续段数
这里的连续段数指的是区间的并可以分解为多少个独立的区间。如 [1 ， 2] ∪[2，3]∪ [5 ， 6] 可以分解为两个区间[1 ， 3] 与 [5 ， 6] ，则连续段数为 2 。增加一个数据域 Lines_Tree.line 表示该结点的连续段数。 Line 的讨论比较复杂，内部结点不能简单地将左右孩子的 Line 相加。所以再增加 Lines_Tree.lbd 与 Lines_Tree.rbd 域。定义如下：
1 左端点 I 被描述区间盖到
lbd =
0 左端点 I 不被描述区间盖到
1 右端点 J 被描述区间盖到
rbd =
0 右端点 J 不被描述区间盖到
lbd 与 rbd 的实现：
1 该结点 count > 0
lbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0
leftchild ↑ .lbd 该结点是内部结点且 Count=0
1 该结点 count > 0
rbd = 0 该结点是叶结点且 count = 0
rightchild ↑ .rbd 该结点是内部结点且 Count=0
有了 lbd 与 rbd ， Line 域就可以定义了：
1 该结点 count > 0
Line = 0 该结点是叶结点且 count =0
Leftchild ↑ .Line + Rightchild ↑.Line - 1 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd = 1 且 Rightchild ↑ .lbd = 1
Leftchild ↑.Line + Rightchild ↑ .Line 当该结点是内部结点且 Count=0 ， Leftchild ↑ .rbd 与 Rightchild ↑ .lbd 不都为1
6.2 利用线段树实现区间的动态插入和删除
6.2.1 实例
PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.6.2.2 问题描述
在二维平面分部着一些矩形，矩形有可能重合。求矩形的总面积。
6.2.3 分析
这个题在《算法艺术与信息学竞赛》中第一章介绍数据结构时，讲到线段树的时候有解题分析。
用线段树来记载纵向上是不是被覆盖，用测度来表示区间中被覆盖了多少长度。
为了降低复杂度，可以将坐标离散化，如下图所示：
从左到右扫描长方形的左侧边和右侧边，如果是左侧边则加入线段树中，否则从线段书中删除。同时用横向扫描的距离乘以线段树的测度，就得到了扫描过了的被覆盖的面积。
本题和PKU JudgeOnline,1117, Picture题都对线段树进行了扩展。本题只用到了测度的扩展，而1117题还用到了独立线段数的扩展。
6.2.4 程序
6.3 计算数组区间第K大的数
PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs则是线段树的另外一个应用：实用线段树来计算数组区间[i, j]中元素第k小（或第K大）的数。只要添写一个函数，根据线段树中每个结点的覆盖树木来判断第k大的树是哪一个。
当初始化，或者区间[i, j]发生变化时，需要对线段树进行添加或者删除操作。每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。
1.4 实例
PKU JudgeOnline, 1151, Atlantis.
PKU JudgeOnline, 1117, Picture.
PKU JudgeOnline, 2761, Feed the dogs.
PKU JudgeOnline, 2528, Mayor'sposters.
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