cojs 疯狂的求和问题 解题报告

QAQ 好久不在cojs上出题了

最近学了点新科技，于是就做成题来分享了

这道题是要求simga(i^k)

那么就先说说部分分的算法吧：

 

10分：

直接暴力就可以了，时间复杂度O(nlogk)

 

30分：

我们考虑设S(n)表示1^k+2^k+……+n^k的和

不难发现S(n+1)=S(n)+(n+1)^k

由二项式定理得(n+1)^k=sigma( C(k,i)*n^i  )

构造向量(n^0,n^1,n^2……,n^k,S(n))

不难根据刚才的式子构造出转移矩阵,之后矩阵乘法+快速幂就可以了

时间复杂度O(k^3logn)

 

60分：

设S(d)表示0^d+1^d+2^d+……+(n-1)^d的和

注意到(d+1)^i - d^i = sigma( C(i,j) *d^j )(其中j不等于i)

如果d的取值为0-(n-1)我们对左式求sigma

我们得到左式=n^i

相应的右式经过化简之后得到sigma( C(i,j) * S(j) )( j<i )

这样C(i,i-1)*S(i-1)=n^i-sigma( C(i,j) *S(j) )( j<i-1 )

由于S(0)已知，所以我们可以在O(k^2)的时间内递推出结果

 

80分：

我们定义伯努利数为B

可以得到 sigma(i^k) = sigma( C(k+1,j) * B(k+1-j) * (n+1)^j )/(k+1)

如果我们可以快速求出伯努利数，那么我们就可以在O(k)时间内算出答案

我们知道伯努利数的生成函数为x/(e^x-1)

对e^x做泰勒展开之后上下同时消掉一个x我们可以得到

伯努利数的多项式的生成函数 1 / (x^i/(i+1)!)

考虑到分母的多项式是非常容易求出的,而伯努利数的多项式就是这个多项式的逆

多项式求逆即可，时间复杂度O(klogk),常数巨大

 

100分：

由题面我们其实可以知道sigma(i^k)的通项公式实际上是一个(i+1)次的多项式

设这个多项式为f

我们实际上要求的是f(x)也就是某个点的值

不难在O(klogk)的时间内求出当x=(0->(k+1))的每个点的值

已知k+2个点值，则可以唯一确定一个k+1次的多项式

直接代入拉格朗日插值公式即可得到f(n)的值

注意到直接使用拉格朗日插值公式的时间复杂度是O(k^2)的

但是由于我们相邻点的x坐标相差为1

可以通过预处理阶乘和阶乘的逆元做到O(k)的插值出f(n)

总时间复杂度O(klogk)，但是由于log取得是快速幂，所以常数较小