cojs 简单的求和问题 解题报告

一个上午写了两个数据生成器，三个暴力和两个正解以及一个未竣工的伪正解思路

真是累死本宝宝了

 

首先这个题目暴力我的数据是有很多良心分的

但是不同的暴力拿到的分数也会有所差距，由于是题解就不说暴力怎么写了

首先第一种解法：

我们对f序列分块，预处理a序列中每个点在每个块内会被计算多少次

预处理的时候对于每个块把所有区间差分一下，然后O(N)扫一遍统计即可

考虑我们的查询，一定是若干单点和若干块

所以修改我们可以对f序列中所有的块暴力计算贡献

由于已经预处理过，所以这是很好解决的，这样我们就可以解决块的询问了

之后我们考虑对于单点的询问，显然就变成了求a序列的区间和

可以用树状数组在修改log，查询log的时间内完成

总时间复杂度O(n*sqrt(n)*logn)

但是我们可以做到更好，考虑我们实际上修改的次数较少，查询次数较多

所以我们可以采用sqrt(n)修改，O(1)查询的方式来维护

显然我们要对a序列分块，维护a序列的前缀和，每次修改等于把Si-Sn每个数加上一个数

查询的时候只需要返回 单点的值和块的值的和就可以了

这样总时间复杂度O(n*sqrt(n))，空间复杂度O(n*sqrt(n)）

 

但是如果我丧心病狂一点，强行卡内存呢？

下面介绍第二种解法：

我们把询问离线，就可以把修改操作改成增量操作啦

这样贡献就被分离了，一个询问的答案等于块内贡献和之前块贡献的和

首先之前块的贡献的和我们可以通过每次暴力重构前缀和数组做到O(n*sqrt(n))的时间复杂度

块内贡献不是很好算，由于区间和具有可减性，我们可以把一个询问拆成两个前缀和询问

之后我们把所有询问按询问端点从小到大排序，扫每一个询问

之后扫这个询问块内的在它之前的修改来计算贡献，那么我们显然要知道这个修改的点要被计算多少次

我们可以在扫描过程中维护一个数据结构满足区间+1,查询单点值

用树状数组可以做到log修改，log查询，时间复杂度O(n*sqrt(n)*logn)

同理我们一样可以转化为sqrt(n)修改，O(1)查询，做法和上面的同理，对a序列分块即可

时间复杂度O(n*sqrt(n))，空间复杂度O(n)

 

但是如果我再丧心病狂一点，还要求强制在线呢？

这个题还是可做的，不过做法要多个log，如果谁有更好的做法欢迎与我联系

第三种解法：

我们考虑我们计算某个修改对某个询问的贡献的时候需要的信息

由于我们把询问拆成了前缀和询问，我们只需要知道在f序列中[1-i]这些的f值中ak被计算了多少次

在上一种做法中我们离线排序来计算的这些信息，需要维护的数据结构支持区间修改，单点查询

我们不妨差分一下，转化成单点修改，区间查询

然后我们就可以用可持久化线段树来预处理啦

之后我们读入询问，每sqrt(n)暴力重构一次前缀和，暴力扫块内之前操作计算贡献就可以啦

时间复杂度O(n*sqrt(n)*log(n)),空间复杂度O(n*logn)

这个做法貌似并不能在cojs上跑过去，不过也是一个蛮不错的idea

实测最后两个点会T掉，貌似时限在开大0.5s就能跑过去啦

 

UPD：对于第二种做法，目前比第一种做法要快

而且本人的写法比较辣鸡，如果第二种做法将修改和查询分开就会减少很多无用的扫描

可以减小常数，貌似可以跑的更快？不过代码量和细节肯定会增多QAQ

由于本人丧心病狂，已经卡了内存