51Nod 有限背包计数问题 题解报告

首先这道题理论上是可以做到O(nlogn)的，因为OEIS上有一个明显可以用多项式乘法加速的式子

但是由于模数不是很兹磁，所以导致nlogn很难写

在这里说一下O(n*sqrt(n))的做法

首先我们很容易发现当物品的大小>sqrt(n)的时候，物品数量的限制形同虚设

也就是说物品的大小>sqrt(n)的时候实际上是一个完全背包

而对于完全背包，有着另外一种做法(参照NOIP2001 数的划分）

由于我们知道假设我们只用>sqrt(n)的物品，我们最多使用sqrt(n)个物品

不妨设f[i][j]表示用了i个>sqrt(n)的物品拼出来j的方案

我们分类讨论:

1、这i个物品中至少有一个是sqrt(n)+1

2、这i个物品都>sqrt(n)+1

可以很容易得到递推式f[i][j]=f[i][j-i]+f[i-1][j-sqrt(n)-1]

由于最多用sqrt(n)个物品，所以状态数是n*sqrt(n)的，转移是O(1)的

所以这部分的时间复杂度是O(n*sqrt(n))的

 

之后我们考虑只用<=sqrt(n)的情况

这显然是一个简单的多重背包问题了

我们都知道多重背包问题的时间复杂度是O(物品数量*背包大小)

所以时间复杂度是O(n*sqrt(n))

之后把合并两种情况就可以了，时间复杂度O(n*sqrt(n))

 

好啦，这道题的上半部分几乎是NOIP2001 数的划分

下半部分是裸的多重背包

所以整体是NOIP难度，而我在做51Nod的时候并没有想出来

所以我的水平低于NOIP

证毕QAQ

 

顺便一提的是，最后合并的式子是一个卷积形式