顺磁自旋模型的状态数和熵

原文：Eric Bertin, A concise Introduction to the Statistical Physics of Complex Systems

考虑一个顺磁模型，各自旋彼此独立，只与一均匀外场有相互作用，外场强度为\(h\)。体系能量为

\begin{equation} E=-h\sum_{i=1}^N s_i,\quad s_i=\pm 1 \label{energy} \end{equation}

相空间（也即构型空间）由集合\(\{ s_i \}_{i=1,\cdots,N}\)给出。

问给定能量\(E\)，体系有多少个构型？

能量\(E\)给定，也即给定磁化强度\(M=\sum_{i=1}^N s_i\)。设自旋取值为\(+1\)（也称自旋向上）的自旋数为\(N_+\)，则磁化强度为\(M=N_+-(N-N_+)\)，所以给定\(M\)也即给定\(N_+\)，于是由基本的排列组合公式知识，构型数为

\begin{equation} \Omega = \frac{N!}{N_+!(N-N_+)!} \label{Omega} \end{equation}

又

\begin{equation} N_+ = \frac{1}{2}\left ( N-\frac{E}{h}\right ) \label{Np} \end{equation}

将此式代入\eqref{Omega}，可以将\(\Omega\)表示为\(E\)的函数：

\begin{equation} \Omega (E) = \frac{N!}{\left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]!\left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]!} \label{OmegaE} \end{equation}

熵为

\begin{equation} \begin{split} S(E)=&\ln\Omega (E) \\ =& \ln N! -\ln \left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]! -\ln \left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]! \end{split} \label{Entropy} \end{equation}

如果\(N\)很大，满足斯特灵公式：

\begin{equation} \ln N! \approx N\ln N-N \label{Stirling} \end{equation}

代入\eqref{Entropy}，得

\begin{equation} S(E)= N\ln N-\frac{N+E/h}{2}\ln \frac{N+E/h}{2} - \frac{N-E/h}{2}\ln \frac{N-E/h}{2} \label{EntropyE} \end{equation}