高分子高斯链

如前所述，忽略长程相互作用的模型给出的链的总体统计性质不依赖于链的细节。因此，要得到链的整体描述，我们可以采用数学上尽可能简单的模型。前面讲的格子模型就是一个好的例子。

高分子的各种非格子模型中，高斯链模型在数学上最为简单。该模型认为，键矢量\(\mathbf r\)本身也是柔性的，并符合高斯统计:

\begin{equation} p(\mathbf r) = \left (\frac{3}{2\pi b^2}\right )^{3/2}\exp \left (-\frac{3\mathbf r^2}{2 b^2}\right ) \tag{1.17}\label{1.17} \end{equation}

将第\(n\)个链节的位置矢量记作\(\mathbf R_n\)，则键矢量\(\mathbf r_n=\mathbf R_n-\mathbf R_{n-1}\)分布由\eqref{1.17}式给出，则各链节键矢量的集合\(\{\mathbf R_n\}\equiv (\mathbf R_1,\mathbf R_2,\cdots,\mathbf R_N)\)的概率分布正比于

\begin{equation} P(\{\mathbf R_n\}) = \left (\frac{3}{2\pi b^2}\right )^{3N/2}\exp \left (-\frac{3}{2 b^2}\sum_{n=1}^N(\mathbf R_{n}-\mathbf R_{n-1})^2\right ) \tag{1.18}\label{1.18} \end{equation}

图1.3 高斯链（珠簧模型）

如图1.3所示，高斯链可看做链节用弹簧相连所组成的链，弹簧的自然伸长为0。设弹簧劲度系数为\(k\)，则链的势能为

\begin{equation} U = \frac{1}{2}k\sum_{n=1}^N(\mathbf R_{n}-\mathbf R_{n-1})^2 \tag{1.19}\label{1.19} \end{equation}

链的平衡状态的分布函数正比于\(\exp(-U/k_BT)\)。因此，弹簧劲度系数可选为

\begin{equation} k = \frac{3k_BT}{b^2} \tag{1.20}\label{1.20} \end{equation}

这样链的平衡态分布函数就与\eqref{1.18}式一样了。由于这里把键看做弹簧，因此高斯链模型也常称为珠簧模型。