匀速拉地毯最少需要多大的力

问题

地上铺着一张长而薄的柔软地毯。地毯一端折起，以恒定速度将折起的一端向后拉，地毯地面部分保持静止。设拉地毯的速度为1，保持不变，求地毯被拉起部分质心的速度。设地毯的长度为1，质量为1，求拉动地毯所需要的最小的力是多大。

提示

地毯移动部分速度小于地毯移动端速度，因为地毯移动部分的质量在不断增加。

解答

设某时刻地毯移动端位置为\(x\)，如图所示，则地毯另一端位置为\(x/2\)，于是地毯移动部分的质心的位置为\(3x/4\)。根据题意，\(\mathrm dx/\mathrm dt=1\)，所以，地毯移动部分的质心的速度仅为\(3/4\)

地毯被拉起部分的动量为\(p=mv\)，这里\(v=1\)，而\(m\)均匀增加。根据牛顿第二定律，地毯移动部分合外力为

\begin{equation*} F=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}v+\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}m=\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}1+0 \end{equation*}

地毯移动部分质量变化率计算如下。\(t=0\)时刻，处于坐标原点的地毯一端开始被拉起，等到整个地毯都开始移动的时候，地毯移动端位置为\(x=2\)，此时时刻为\(t=2\)，因此\(\mathrm dm/\mathrm dt=1/2\)。没有能量耗散时拉力最小，因此最小拉力为\(F=1/2\)。