随机行走
原文：Random Walks
什么是随机行走？
随机行走是一个对象从起始点出发游走，每一步都随机选个方向前进。下图为7个黑点的随机行走。
7个随机行走的黑点
如何对随机行走进行数学描述？
最简单的随机行走是一维随机行走。考虑数轴上中心处的黑点。
数轴中心出黑点
然后，这个黑点开始迈出一步，向前或向后，做任一选择的概率都是相等的。以后时刻迈出下一步也是一样的，以相等的概率决定向前还是向后。第1步记作\(a_1\)，第2步记作\(a_2\)，第3步记作\(a_3\)，以此类推。每个“\(a\)”只有两个取值，+1（表示向前走1步）或-1（表示向后退1步），如下图所示，黑点走了5步后停在数轴上-1处。
黑点在数轴上做了5步随机行走
假设黑点从0处开始出发，沿着数轴随机行走。首先我们想知道，黑点走了\(N\)步后，距离出发点有多远。显然，每次实验得到的结果是不一样的。但是我们可以算一下，多次重复实验，黑点最后到出发点距离的平均值。黑点最后到出发点0的距离记作\(d\)。这里\(d\)可正可负，\(d\gt 0\)，表示黑点最后位于0点右边，反之，\(d\lt 0\)，表示黑点最后位于0点左边。对于任意一次实验，结果为
\begin{equation*} d=a_1+a_2+\ldots +a_N \end{equation*}
多次重复实验，得到的\(d\)的平均值为
\begin{equation*} \langle d\rangle =\langle a_1+a_2+\ldots +a_N \rangle =\langle a_1\rangle +\langle a_2\rangle +\ldots +\langle a_N \rangle \end{equation*}
但是\(\langle a_1\rangle = 0\)，因为\(a_1\)取+1和-1的概率相等。同样 地，\(\langle a_2\rangle = 0\)，\(\langle a_3\rangle = 0\)，\(\dots\)，\(\langle a_N\rangle = 0\)，所以
\begin{equation*} \langle d\rangle =\langle a_1\rangle +\langle a_2\rangle +\ldots +\langle a_N \rangle = 0+0+\ldots+0 \end{equation*}
仔细想想，这个结果不奇怪，\(\langle d\rangle\)表示黑点走了\(N\)步之后的平均位置，而黑点前进和后退的概率是一样的，平均值确实应该是0。
整点有用的
上面的计算毛用没有。现在我们整点有用的。
\(d\)有正有负，但是\(d^2\)只能是正的。因此\(\langle d^2 \rangle\)就不可能是0。那我们就算算\(\langle d^2 \rangle\)，看能得到什么结果。
\begin{equation*} \begin{split} \langle d^2\rangle &=\langle (a_1+a_2+\ldots +a_N)^2 \rangle \\ &=\langle (a_1+a_2+\ldots +a_N)(a_1+a_2+\ldots +a_N) \rangle \\ &= \langle a_1^2\rangle +\langle a_2^2\rangle +\ldots +\langle a_N^2 \rangle \\ &+ 2(\langle a_1a_2\rangle+\langle a_1a_3\rangle+\ldots +\langle a_1a_N\rangle+\langle a_2a_3\rangle+\ldots +\langle a_2a_N\rangle +\ldots) \end{split} \end{equation*}
\(\langle a_1^2 \rangle\)等于多少？因为\(a_1\)要么是1要么是-1，因此\(a_1^2\)只有一个取值，1，所以，\(\langle a_1^2\rangle=1\)，同样地，有\(\langle a_2^2\rangle=1\)，\(\langle a_3^2\rangle=1\)，\(\ldots\)，\(\langle a_N^2\rangle=1\)
现在看\(\langle a_1a_2\rangle\)的值。\(a_1\)和\(a_2\)有四种组合，每种组合出现的概率都相等。四种组合如下：
| \(a_1\) | \(a_2\) | $ a_1a_2$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | -1 |
| -1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 |
因此\(a_1a_2\)的可能取值为1或-1，两种情况出现的概率相等，因此\(\langle a_1a_2\rangle=0\)。同样地，\(\langle a_1a_3\rangle=0\)，\(\langle a_1a_N\rangle=0\)，\(\langle a_2a_3\rangle=0\)，\(\langle a_2a_N\rangle=0\)，等等其他类似的项也都为0，于是，
\begin{equation*} \langle d^2\rangle = (1+1+\ldots+1)+2(0,0,\ldots,0)=N \end{equation*}
现在我们有些有意义的结果了，距离的平方的平均值为\(N\)。对上式开方，有
\begin{equation*} \sqrt{\langle d^2\rangle} =\sqrt{N} \end{equation*}
\(\sqrt{\langle d^2\rangle}\)大概其是上图中黑点走了\(N\)步后到0点的距离（科学术语叫做“方均根”距离），我们期望黑点走了\(N\)步后，到出发点距离为$\sqrt{N} $。如果黑点走了25步，黑点净移动步数期望值为5步，不管是什么方向。当然有时候会多于5步，有时候会少于5步，5步是我们所期望的结果。
