量子力学里为什么要有复数？

参考：Sears and Zemansky's university physics : with modern physics, 13th Ed

我们从自由粒子做个说明。

我们从熟悉的机械波开始谈起。

在弦上传播的一个波的波动方程是这样的

\begin{equation*} \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} \end{equation*}

方程的解是

\begin{equation*} y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t) \end{equation*}

其中\(v\)是波速，\(k=2\pi/\lambda\)为波数，\(\omega = 2\pi \nu\)为圆频率。于是有

\begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}&=-\omega^2 y(x,t)\\ \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}&=-k^2 y(x,t) \end{split} \end{equation*}

容易看出来，\(y(x,t)\)要满足波动方程，必须要求\(\omega =v k\)。

现在我们看自由粒子的量子力学。

设自由粒子的质量为\(m\)，粒子能量\(E=\frac{p^2}{2m}\)，由波粒两象性，\(E=h\nu=\hbar \omega，p=h/\lambda =\hbar k\)，于是可得\(\hbar \omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)。

假设粒子的波函数为

\begin{equation*} \Psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t) \end{equation*}

对\(x\)求二阶导，

\begin{equation*} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=-k^2 \Psi(x,t) \end{equation*}

对\(t\)求一阶导

\begin{equation*} \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\omega [A \sin(kx-\omega t)-B \cos(kx-\omega t)] \end{equation*}

根据前面我们得到的关系，\(\hbar\omega =\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)，可知波动方程必须是如下形式

\begin{equation*} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=C\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} \end{equation*}

其中\(C\)为未定参数。把求导带入上式，可得\(A=-CB\)，\(B=CA\)，由此可得\(C=i\)，\(B=iA\)，所以量子波动方程为

\begin{equation*} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} \end{equation*}

波函数

\begin{equation*} \Psi(x,t)=A[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)]=Ae^{i(kx-\omega t)} \end{equation*}

综上，量子力学必须里必须有复数。