理论物理极础附录：有心力和行星轨道

莱尼弯下腰，从望远镜的目镜凝视望去。这是他第一次看望远镜。他看到了土星环，惊叹土星环之美。“乔治，你看过土星环吗？”

乔治点头说：“是的，我看过了。”

莱尼抬起头，继续问：“土星环怎么形成的？”

乔治说：“正如地球绕着太阳转圈圈。"

莱尼说：“那地球怎么转起来的？”

万有引力是有心力

有心力场是这样的力场，每一点的力的方向都指向空间处某一点，如图1所示。另外，到中心点距离相等的地方，力的大小是一样的。

图1 有心力

从数学观点来看，有心力场除了具有明显的旋转对称性，别无特殊。但是在物理和物理学史上，有心力场却非常特殊。牛顿最先解决的物理问题之一行星轨道问题就是有心力场问题。氢原子里，电子绕着质子转，也是有心力场问题。两个原子相对彼此运动，形成简单分子，也可化为有心力场问题，有心力的中心为两个原子的质心。

我们来讨论地球的运动。根据牛顿定律，太阳对地球的作用力与地球对太阳的作用力大小相等，方向相反，作用在地球和太阳的连线上。太阳的质量远大于地球的质量，因此太阳的运动可以忽略，可以视为固定不动。可以将太阳的位置定为坐标原点，\(x=y=z=0\)。而地球绕着原点运动。用矢量\(\vec{r}\)表示地球的位置，地球位置矢量的分量为\(x,y,z\)。既然太阳位于原点，地球所受的力指向原点。另外，力的大小只与地球到原点的距离\(r\)有关。具有这样性质——力方向指向原点，大小只与到原点距离有关——的力称作有心力。

根据插播数学1的知识，单位矢量可写为如下形式：

\begin{equation*} \hat{r}=\frac{\vec{r}}{r} \end{equation*}

有心力的数学定义为

\begin{equation*} \hat{F}=f(r)\hat{r} \end{equation*}

其中\(f(r)\)（注：原文为\(f(\vec{r})\)）决定两项事情。第一，\(f(r)\)的函数值的绝对值为地球距离太阳\(r\)时的力的大小。第二，\(f(r)\)的符号表示力是指向太阳还是背离太阳，也即表示力是吸引力还是排斥力。即，如果\(f(r)\)为正，表示力的方向背离太阳，力是排斥力，如果\(f(r)\)为负，表示力的方向指向太阳，力是吸引力。

太阳与地球之间的力是万有引力。根据牛顿的万有引力定律，质量分别为\(m_1\)和\(m_2\)的两个物体之间的万有引力具有如下性质：

• 万有引力是吸引力，力的大小正比于两物体质量的乘积，比例系数为一常量，记作\(G\)，称作万有引力常数，具体的值为\(G=6.674\times 10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\)。（原文为\(G\approx 6.673\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\)）
• 万有引力大小与物体之间的距离的平方成反比。

即万有引力是吸引力，大小为\(G\frac{m_1m_2}{r^2}\)。即函数\(f(r)\)形式为

\begin{equation*} f(r)=-G\frac{m_1m_2}{r^2} \end{equation*}

万有引力可写为

\begin{equation*} \vec{F}_{grav}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

对于地球-太阳系统，设太阳的质量为\(M\)，地球的质量为\(m\)，则地球受到的力为

\begin{equation*} \vec{F}_{grav}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

地球的运动满足牛顿第二定律\(F=ma\)，代入万有引力，有

\begin{equation*} m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\frac{Mm}{r^2}\hat{r} \end{equation*}

注意到有个有意思的事实：方程两边地球的质量可以消去，因此运动方程不依赖于地球质量：

\begin{equation} \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-G\frac{M}{r^2}\hat{r} \label{eq1} \end{equation}

一个物体即便与地球质量相差甚远，比如一颗卫星，也可以与地球沿同样的轨道绕日运动。但应该注意：只有太阳质量巨大，远大于地球和卫星的质量，太阳的运动可忽略，地球和卫星才可以沿同样的轨道运动。

引力势能

万有引力还可以从势能函数得到。力是势能的负梯度：

\begin{equation*} \hat{F}=-\nabla V \end{equation*}

不难猜到万有引力的势能\(V\)的形式。首先，万有引力正比于\(GMm\)，可猜到势能也应该有这个因子。

其次，力的大小只与距离\(r\)有关，可猜到势能也只与\(r\)有关。最后，我们要对\(V\)求导来得到力，既然力正比于\(1/r^2\)，那么势能一定正比于\(-1/r\)。

综上，很自然地猜到势能为

\begin{equation*} V(r)=-G\frac{Mm}{r} \end{equation*}

这确实就是万有引力势能。猜的完全正确。

地球在一平面内运动

之前，我们提到有心力问题具有对称性，即关于原点的旋转对称性。在第7讲我们讲过，这一对称性意味着角动量守恒。设在某瞬时，地球的位置矢量为\(\vec{r}\)，速度为\(\vec{v}\)。这两个矢量和太阳的位置组成一个平面，即地球轨道的瞬时平面。

角动量\(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{v}\)，因此与\(\vec{r}\)和\(\vec{v}\)都垂直，如图2所示。换言之，角动量与轨道平面垂直。这个事实与角动量守恒相结合，就表现出强大威力。角动量守恒告诉我们矢量\(\vec{L}\)不随时间变化。由此，可得到结论轨道平面保持不变。简言之，地球轨道和太阳永远位于一个固定的不变的平面内。了解到这一点，我们可以转动我们的坐标系，使轨道位于\(x,y\)平面内。这样问题就化为二维问题，\(z\)坐标变得不重要。

图2 角动量\(\vec{L}\)与位置矢量\(\vec{r}\)和速度矢量\(\vec{v}\)的关系

极坐标

我们可以用笛卡尔坐标\(x,y,z\)讨论问题，但是对于有心力问题，用极坐标\(r,\theta\)更为方便。极坐标与笛卡尔坐标的关系为：

\begin{equation*} \begin{split} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos\theta &=\frac{x}{r} \end{split} \end{equation*}

在极坐标系，地球动能为

\begin{equation} T=\frac{m}{2}\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right ) \label{eq2} \end{equation}

势能为

\begin{equation} V=-G\frac{Mm}{r} \label{eq3} \end{equation}

势能与角坐标\(\theta\)无关。

运动方程

与通常情况一样，得到运动方程最简单的方法是拉格朗日方法。拉格朗日量是动能和势能的差，\(L=T-V\)。利用方程\eqref{eq2}和\eqref{eq3}，在极坐标系下拉格朗日量为

\begin{equation} L=\frac{m}{2}\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right )+G\frac{Mm}{r} \label{eq4} \end{equation}

运动方程由以下两式得到：

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}&=\frac{\partial L}{\partial r}\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}&=\frac{\partial L}{\partial \theta} \end{split} \end{equation*}

运动方程为

\begin{equation} \ddot{r}=r\dot{\theta}-\frac{GM}{r} \label{eq5} \end{equation}

\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(mr^2\dot{\theta}\right )=0 \label{eq6} \end{equation}

方程\eqref{eq6}是某守恒定律的形式。一点也不奇怪，它正是角动量守恒。确切地讲，是角动量的\(z\)分量守恒。传统上角动量用符号\(L\)表示，但是我们前面用\(L\)表示拉格朗日量，我们这里改用\(p_{\theta}\)表示角动量。如果我们知道某时刻的\(p_{\theta}\)，则任意时刻的\(p_{\theta}\)也就知道了。我们有

\begin{equation} mr^2\dot{\theta}=p_{\theta} \label{eq7} \end{equation}

这里把\(p_{\theta}\)看作已知参数。

这样我们可以写出地球绕太阳运动的角速度的表达式：

\begin{equation} \dot{\theta}=\frac{p_{\theta}}{mr^2} \label{eq8} \end{equation}

我们会再讨论角速度与径向距离的关系，我们这里先讨论关于\(r\)的方程，即

\begin{equation} m\ddot{r}=mr\dot{\theta}^2-\frac{GMm}{r^2} \label{eq9} \end{equation}

将方程\eqref{eq8}带入上式，得

\begin{equation} m\ddot{r}=\frac{p_{\theta}^2}{mr^3}-\frac{GMm}{r^2} \label{eq10} \end{equation}

我们对上式做个解释。这个方程形式上很像牛顿第二定律，等效的力为：

\begin{equation} F_{\mathrm {effective}}=\frac{p_{\theta}^2}{mr^3}-\frac{GMm}{r^2} \label{eq11} \end{equation}

\(-\frac{GMm}{r^2}\)正是万有引力。第一项可能会让人觉得奇怪，其实这一项不是别的，正是一个质点绕原点运动时受到的假想的离心力。

为便于理解，假设方程\eqref{eq11}描述的就是一个受到万有引力和离心力的质点的运动。

我们还可以为这个等效力构造一个等效势能：

\begin{equation} V_{\mathrm {effective}}=\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} \label{eq12} \end{equation}

容易验证

\begin{equation*} F_{\mathrm {effective}}=-\frac{d}{dr}V_{\mathrm {effective}}(r) \end{equation*}

从实用观点看，我们可以假设质点沿径向的运动\(r\)的动能为\(\frac{m}{2}\dot{r}^2\)，势能为\(V_{effective}\)，拉格朗日量为

\begin{equation} L_{\mathrm {effective}}=\frac{m}{2}\dot{r}^2-\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r} \label{eq13} \end{equation}

等效势能曲线

为了获得问题的直观感受，可以画出势能的曲线。比如平衡点（系统可能处于静止状态的地方）为曲线的驻点（极小值或极大值）。为了理解有心力运动，我们也必要做同样的事情，只是我们画的是等效势能的曲线。首先我们分别画出\(V_{\mathrm {effective}}\)的两项的曲线，如图3所示。注意到，这两项符号相反，向心力项是正的，引力项是负的。原因是万有引力是吸引力，而离心力把质点推向远离原点的地方，为排斥力。

图3 等效势能中离心力项和引力项的曲线

在原点附近，离心力项起主要作用，在\(r\)比较大的地方，引力项的大小更大。我们把两项合起来，我们可以得到\(V_{\mathrm {effective}}\)曲线，如图4所示。

图4 总的等效势能曲线

注意到，总的势能曲线有一个极小值点。这有点奇怪，不应该会有一个平衡点，地球可以静止在那里。但是我们要记住，我们只是讨论的\(r\)的行为，还没有考虑角坐标\(\theta\)行为。重点是对于每个角动量，保持径向距离\(r\)不变的轨道不止一条，这些轨道都是圆形的，对应为在\(V_{\mathrm {effective}}\)曲线上的极小值点。

让我们计算一下极小值点对应的\(r\)的值。方法是\(V_{\mathrm {effective}}\)对\(r\)求导等于0，具体结果留给读者完成，可求得结果为

\begin{equation} r=\frac{p_{\theta}^2}{GMm^2} \label{eq14} \end{equation}

上式可给出地球在给定角动量下的轨道半径（假设为圆形，但这与实际有所不符）。

开普勒定律

第谷·布拉赫是16世纪丹麦天文学家。在第谷的时代，还没有望远镜，第谷用长棍和一些仪器测量星之间的角距离，做了太阳系的运动记录和表格。他对太阳系的运动的理论解释很不清楚。他的遗产是他的表格。

第谷的助手开普勒充分利用了第谷的表格。开普勒把第谷的数据记录用简单的几何图形和数学关系进行拟合。他不知道行星为何按照他提出的定律运行。他的理论很奇怪，但得到的结果是对的。

牛顿的一大成就就是运用牛顿运动定律和万有引力平方反比定律解释了开普勒行星运动定律。从某种意义上说，这是近代物理的开端。我们先回顾开普勒的三条定律的具体内容：

• K1: 行星轨道为椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。

• K2: 行星和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。

• K3: 行星轨道运动的周期的平方与椭圆轨道半长轴的立方成正比。

定律 K1也称椭圆定律。前面我们已经解释过了，圆形轨道对应于平衡点，即等效势能的极小值点。但是还有些运动对应于极小值点附近的往复运动，即振动。这种类型的运动使地球周期性的靠近和远离太阳，又由于地球有角动量，所以地球必须绕着太阳转动。地球到太阳的距离周期性变化，相对太阳的角位置也必须变化，这样得到的运动轨道只能是椭圆。图5就是一条这样的椭圆轨道。沿着这样的一条轨道，如果只考虑径向运动，地球到太阳的径向距离周期性的变大变小，对应的运动就像等效势场中的振动。

图5 地球绕太阳运动的椭圆轨道

要精确证明地球的轨道是椭圆还有点难，我们现在不去证明它。

我们再换个角度看等效势场中质点的运动。想象一个质点，其能量能使其摆脱势能束缚。这个质点沿这样一个轨道运动，从无限远处而来，在\(r=0\)处附近弹开，弹向远处，越来越远，永不再回来。这样的轨道确实存在，这称为无界双曲轨道。

现在我们讨论K2。根据开普勒第二定律，径向矢量在同样的时间内扫过的面积相等。这听起来像一则守恒定律，这确实是守恒定律，即角动量守恒定律。请看方程\eqref{eq7}，两边除以质量\(m\)：

\begin{equation} r^2\dot{\theta}=\frac{p_{\theta}}{m} \label{eq15} \end{equation}

想象从有心力场的中心发出的射线扫过的面积，如图6所示，在一个很小的时间\(\delta t\)内，射线转过的角度\(\delta \theta\)，射线扫过的小三角形面积为

\begin{equation*} \delta A =\frac{1}{2}r^2\delta \theta \end{equation*}

图6 地球和太阳连线在\(\delta t\)时间内扫过的面积

上式两边同除以时间间隔\(\delta t\)，可得

\begin{equation*} \frac{d A}{dt} =\frac{1}{2}r^2\dot \theta \end{equation*}

再由角动量守恒，即方程\eqref{eq15}，可得

\begin{equation} \frac{d A}{dt} =\frac{p_{\theta}}{2m} \label{eq16} \end{equation}

由于\(p_{\theta}\)和质量\(m\)都不随时间变化，所以面积随时间的变化率是常数，并且正比于角动量。

最后，我们讨论K3，行星轨道运动的周期的平方与轨道半径的立方成正比。

开普勒定律适合于一般的轨道，但是这里我们只讨论圆形轨道。讨论的方法有很多，最简单方法是用牛顿定律\(F=ma\)开始讨论。地球所受的力只有一个，即万有引力，大小为：

\begin{equation*} F =-\frac{GMm}{r^2} \end{equation*}

在第2讲，我们知道圆周运动的加速度为

\begin{equation} a =\omega^2 r \label{eq17} \end{equation}

其中\(\omega\)是角速度。

练习1：从第2讲的方程(3)证明方程\eqref{eq17}。

对于地球，满足牛顿第二定律，有

\begin{equation*} \frac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r \end{equation*}

易得

\begin{equation*} \omega^2=\frac{GM}{r^3} \end{equation*}

地球轨道运动周期\(\tau\)即地球绕着太阳转一圈所用的时间，与角速度的关系为：

\begin{equation*} \tau=\frac{2\pi}{\omega} \end{equation*}

习惯上我们用\(T\)表示周期，但是前面我们用\(T\)表示了动能，因此我们这里改用希腊字母\(\tau\)表示周期。由前面两式，我们得

\begin{equation*} \tau^2=\frac{4\pi^2}{GM} r^3 \end{equation*}

周期的平方正比于半径的立方。