拍的音频演示

一个质点同时做两个简谐振动，两个简谐振动的方向在同一直线上，但频率略有不同，假设振幅相同，初相位都是0。假设两个简谐振动分别为

\begin{equation*} x_1=A\cos (\omega_1 t) \end{equation*}

\begin{equation*} x_2=A\cos (\omega_2 t) \end{equation*}

则合振动为

\begin{equation*} x=x_1+x_2=A\cos (\omega_1 t)+A\cos (\omega_2 t)=2A\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2 }{2} t\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2 }{2}t \right) \end{equation*}

如果\(\omega_1 \approx \omega_2\)，于是\(\omega_1-\omega_2 \ll \omega_1+\omega_2\)，所以合振动可看作是振幅缓变的近似简谐振动。合振动振幅周期变化的现象叫拍，合振幅每变化一个周期叫做一拍。

下面通过声音演示一下拍现象。声音来自密歇根大学音乐物理讲义

两频率分别为100Hz和120Hz的声音，如下图所示：

两声音叠加，可听到拍：
[audio wav="http://joyfulphysics.scholarnet.cn/wp-content/uploads/2016/04/beatdemo.wav"][/audio]

上述文件中依次听到100Hz和120Hz的声音之后才是拍的声音。

下面是从Youtube上下载的演示视频。
[video width="492" height="360" mp4="http://joyfulphysics.scholarnet.cn/wp-content/uploads/2016/04/Beats-Physics.mp4"][/video]