夫琅禾费单缝衍射

单缝衍射现象如下图所示：

半波带法分析衍射图样

半波带

如上图，分析P点处是亮条纹还是暗条纹。现将 BC 分成 N 等份, 每份长度为λ/ 2, 即把波面 AB 切割成 N 个波带, 使得相邻两个波带上的对应点所发出的次波到达 P 点处的光程差均为λ/ 2 。对于某一确定的衍射角\(\theta\)，若 BC 恰好为半波长的偶数倍，则在P点处各相邻两个子波带干涉相消，整体将呈现为暗条纹中心。若 BC 恰好为半波长的奇数倍，相邻波带的光在P点干涉相消，还剩一个波带的光到达P点，于是 P 点处将呈现为明条纹中心；衍射角越大，对应明条纹越暗。对于某衍射角，如果波振面AB不能恰好分出整数个半波带，则屏上对应点强度介于明和暗之间。

综上，暗条纹中心

\begin{equation*} b\sin\theta=\pm k\lambda,k=1,2,3,\cdots \end{equation*}

明条纹中心（近似）

\begin{equation*} b\sin\theta=\pm k\lambda,k=0,1,2,3,\cdots \end{equation*}

强度分布

研究宽度为\(b\)的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上，现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成，并且认为，缝上每一点都是一个惠更斯子波源，它们发出的子波互相干涉。设点光源\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(\ldots\)，并设相邻点光源的间隔为\(\Delta\)，如下图所示。

如果点光源的数目为\(n\)，则

\[b=(n-1)\Delta \]

现在需要计算\(n\)个点光源在点\(P\)的总叠加场。点\(P\)是透镜焦平面上任意一点，此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为\(\theta\)。实际上缝是由连续分步的点光源组成，所以在最后的结果表达式中，将是\(n\)趋于无穷大，\(\Delta\)趋于零，并保持\(n\Delta\)趋于\(b\)。

点\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(\ldots\)到点\(P\)的距离比缝宽\(b\)是很大的，所以，从这些点达到点\(P\)的振动的振幅几乎完全相等。但是，虽然它们到点\(P\)的距离只有微小的差别，但是相位差不可忽略。

对于垂直入射的平面波，在点\(A_1\)，\(A_2\)，\(A_3\)，\(\ldots\)是同相位的。点\(A_2\)发出的波与点\(A_1\)发出的波的光程差为\(\overline{A_2A_2'}\)

\[\overline{A_2A_2'}=\Delta \sin \theta \]

相应的相位差

\[\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \sin \theta \]

同理，相邻点发出的相位差也是\(\phi\)。如果点\(A_1\)发出的波在点\(P\)产生的场\(E_0\cos \omega t\)，因此，各点在点\(P\)产生的合振动为

\[E=E_0\{\cos \omega t+\cos (\omega t-\phi)+\ldots+\cos [\omega t-(n-1)\phi)]\} \]

如下图可计算点\(P\)处的合振动

计算结果为

\[E=\frac{E_0\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\cos[\omega t -(n-1)\phi/2] \]

也可以用复数法得到上述结果。

\[\widetilde{E}=E_0e^{i\omega t}[1+e^{-i\phi}+\ldots+e^{-i(n-1)\phi}]=E_0e^{i\omega t}\frac{1-e^{-i n \phi}}{1-e^{-i \phi}} \]

\[=E_0\frac{e^{i n \phi/2}-e^{-i n \phi/2}}{e^{i \phi/2}-e^{-i \phi/2}}\frac{e^{-i n \phi/2}}{e^{-i \phi/2}}e^{i\omega t} \]

\[=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}e^{\left \{i\left [\omega t-(n-1)\frac{\phi}{2}\right ] \right \}} \]

点\(P\)处，合振幅

\[E_P=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\approx E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{\phi}{2}}=(n-1)E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{(n-1)\phi}{2}} \]

在\(n\rightarrow \infty\)和\((n-1)\Delta\rightarrow b\)情况下，

\[\frac{(n-1)\phi}{2}=\pi (n-1)\Delta\sin \theta /\lambda \rightarrow \pi b\sin \theta /\lambda \]

令\(\beta=\pi b\sin \theta /\lambda\)，因此有点\(P\)处的振动为

\[E=(n-1)E_0\frac{\sin \beta}{\beta}\cos(\omega t - \beta) \]

光强

\[I=I_0\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2} \]

其中，\(I_0\)为\(\theta=0\)处的光强。

夫琅禾费单缝衍射强度分布见下图

极大值与极小值的位置

极小值的位置由下述关系给出

\[\beta=k\pi \]

即

\[b\sin \theta =k\lambda, k=\pm 1,\pm 2,\ldots \]

极大值由以下超越方程的根给出

\[\tan \beta=\beta \]