杨氏双缝干涉

考虑频率相同，振动方向相同，具有恒定初始相位的两列波的叠加。设这两列波从空间两定点\(S_1\)和\(S_2\)发出，波源的振动可分别表示为

\begin{equation*} \psi_{01}=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{01} \right) \end{equation*}

\begin{equation}
\psi_{02}=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{02} \right)
\end{equation}

其中\(\varphi_{01}\)和\(\varphi_{02}\)分别是两波源振动的初相位。两列波同时到达空间一点\(P\)处，\(P\)点到两波源的距离分别是\(r_1\)和\(r_2\)，波速分别为\(v_1\)和\(v_2\)，如下图所示，

图1

则\(P\)点处的振动为

\begin{equation*} \psi_1=A_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right) \end{equation*}

\begin{equation}
\psi_2=A_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right)
\end{equation}

合振动强度

\begin{equation*} I=A^2=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi \end{equation*}

其中相位差为

\begin{equation*} \Delta \varphi = \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01}) \end{equation*}

如果两振动相位相同，

\begin{equation*} \Delta \varphi = \pm 2k\pi, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

合振动强度达到最大，称为干涉相长。

如果两振动相位相反，

\begin{equation*} \Delta \varphi = \pm (2k+1)\pi, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

合振动强度达到最小，称为干涉相消。

对于光波，相位差

\begin{equation*} \begin{split} \Delta \varphi &= \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01})\\ &=\frac{2\pi c}{\lambda}\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01})\\ &=\frac{2\pi }{\lambda}(n_2r_2-n_1r_1)-(\varphi_{02}-\varphi_{01}) \end{split} \end{equation*}

其中\(\lambda\)为波在真空中的波长，\(n_1=c/v_1\)和\(n_2=c/v_2\)分别为两波在传播路径上所经介质的折射率。

可见，相位差取决于两个因素，一是波源振动的相位差，二是折射率与路程之积的差。折射率与路程的乘积叫做光程，

\begin{equation*} \Delta = nr \end{equation*}

\(\delta =n_2r_2-n_1r_1\)叫做光程差。

现在我们讨论最简单的情况，\(\varphi_{02}=\varphi_{01}\)，\(n=1\)，杨氏双缝实验就属于这一情况。杨氏双缝实验如图2所示。其中\(S\)是点光源，\(G\)是遮光板，其上开有两条平行的狭缝\(S_1\)和\(S_2\)，间距为\(d\)。\(H\)为观察屏，与\(G\)距离为\(D\)，在实验条件下\(D\gg d\)。\(S_1\)和\(S_2\)是同一波面上的两点，可看作新的波源，发出的次波在遮光板后面的空间叠加，这两束波的初相位相同。

图2 杨氏双缝干涉实验

相位差唯一取决于几何路程差

\begin{equation*} \Delta \varphi = \frac{2\pi }{\lambda}(r_2-r_1) \end{equation*}

于是，出现相长干涉的条件是

\begin{equation*} r_2-r_1 = \pm k\lambda = \pm (2k)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即光程差是半波长的偶数倍。

出现相消干涉的条件是

\begin{equation*} r_2-r_1 = \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即光程差是半波长的奇数倍。

如图2所示，\(r_1,r_2\gg d\)，\(S_1P\)与\(S_2P\)可近似看做平行，于是

\begin{equation*} r_2-r_1 \approx d\sin \theta \end{equation*}

其中\(\theta\)为\(P\)点的角位置。

上式可以由数学得到。

\begin{equation*} \begin{split} r_2 &= \sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\left (\frac{\pi}{2}+\theta \right )\sin \theta}\\ \\ &= \sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}+rd\sin \theta}= r\sqrt{1+\frac{d^2}{4r^2}+\frac{d}{r}\sin \theta}\\ &\approx r\sqrt{1+\frac{d}{r}\sin \theta} \quad (约去二阶小量) \\ &\approx r\left (1+\frac{d}{r}\sin \theta \right)\quad (泰勒展开保留至一阶小量) \end{split} \end{equation*}

同理，

\begin{equation*} r_1 \approx r\left (1-\frac{d}{r}\sin \theta \right) \end{equation*}

于是有\(r_2-r_1 \approx d\sin \theta\)。

\(P\)点坐标与角位置关系为

\begin{equation*} x= D\tan\theta\approx D\sin \theta \end{equation*}

于是可得相长干涉（亮条纹）的位置为

\begin{equation*} r_2-r_1 = d\sin \theta=\frac{dx}{D}=\pm k\lambda = \pm (2k)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

出现相消干涉（暗条纹）的条件是

\begin{equation*} r_2-r_1 =d\sin \theta=\frac{dx}{D}= \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即出现亮条纹的位置为

\begin{equation*} x =\pm k \frac{D}{d}\lambda, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

即出现暗条纹的位置为

\begin{equation*} x =\pm (2k-1) \frac{D}{d}\lambda, k=0,1,2,\dots \end{equation*}

其中，\(k\)称为条纹的级次。

相邻明（或暗）条纹的间距为

\begin{equation*} \Delta x =\frac{D}{d}\lambda \end{equation*}

条纹是等间距排列的。条纹间距与双缝到观察屏的距离成正比，与双缝间距成反比。

条纹间距与双缝间距成反比。

条纹间距与波长成正比。

条纹间距与波长成正比

如果用白光做光源，除中央亮条纹外，起于各级条纹都带有各种颜色。对于级数较大的条纹，不同级次的条纹因互相重叠而使条纹模糊，因此用白光做干涉实验可以辨认的条纹数目很少，实验一般采用单色光。

现在讨论，观察屏上光强的分布。设两列波的光强相等，均为\(I_0\)，则叠加之后的光强为

\begin{equation*} \begin{split} I&=A^2=I_0+I_0+2I_0\cos\Delta \varphi = 2I_0(1+\cos\Delta \varphi)=4I_0\cos^2\frac{\Delta\varphi}{2}\\ &=4I_0\cos^2\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}=4I_0\cos^2\frac{\pi dx}{D\lambda} \end{split} \end{equation*}