理论物理极础11：电力和磁力

莱尼口袋里揣了块磁铁。磁铁为何吸引钉子和金属屑？这个问题令人无限着迷。马蹄形的磁铁到底有什么魔力？尽管不懂，莱尼从来玩不烦他最喜欢的磁铁玩具。

莱尼不知道的是，地球也是个磁体。地磁是护佑人类的神力，使人类免于致命的太阳辐射的伤害，引导带电粒子进入安全轨道。此刻，这些事情还超乎莱尼的想象力。

“乔治，给我讲讲磁吧。”

矢量场

场并不神秘，就是一个时间和空间的函数，这个函数一般表示某个物理量逐点和历时变化。比如气象学中两个常见的场，温度和气压。不同地点不同时刻温度的温度是不一样的，因此可以把温度看做空间和时间的函数 \(T(x,y,z,t)\)，或简记为\(T(x,t)\)。温度和气压没有方向，也没有沿某方向的分量。温度和气压都是标量，其对应的场为标量场。

风速也可看做场。风速有方向，有沿某方向的分量。风速是矢量，其对应的场为矢量场，记为\(\vec{v}(x,t)\)，分量可记为\(v_i(x,t)\)。

电场和磁场也都是矢量场，它们分别由电荷和电流产生。

场在空间逐点变化，因此对原来的场求导，可得到新的场。比如温度的三个偏导，\(\frac{\partial T}{\partial x}\)，\(\frac{\partial T}{\partial y}\)，\(\frac{\partial T}{\partial z}\)，可看做一个矢量场的三个分量，这个矢量场称为温度梯度。如果温度从北向南升高，温度梯度的方向为向南。我们多花点时间，学习一下对旧场微分得新场的窍门。

插播数学：倒三角

我们先造一个矢量，\(\vec{\nabla}\)。倒三角符号\(\nabla\)读作"Del"，或“nabla”。\(\vec{\nabla}\)的分量不是数字，而是求导符号：

\begin{equation} \begin{split} & \nabla_x \equiv \frac{\partial }{\partial x}\\ & \nabla_y \equiv \frac{\partial }{\partial y}\\ & \nabla_z \equiv \frac{\partial }{\partial z} \end{split} \label{eq1} \end{equation}

乍一看，方程\eqref{eq1}毫无意义。矢量的分量怎么不是数字，而是求导符号？对什么求导？这里补充\(\nabla\)的要点，这个符号不会独自存在，必须作用到一个函数上，如同求导符号\(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\)必须作用到一个函数上一样。比如，\(\nabla\)可以作用到标量场上，比如作用到温度场上。\(\nabla T\)的分量为

\begin{equation\*} \begin{split} & \nabla_x T = \frac{\partial T}{\partial x}\\\\ & \nabla_y T = \frac{\partial T}{\partial y}\\\\ & \nabla_z T = \frac{\partial T}{\partial z} \end{split} \end{equation\*}

以上正是一个真正的矢量场——温度梯度的三个分量。类似的，我们可以得到任意标量场的梯度。

下面我们定义矢量场的散度。散度的定义与矢量点乘的定义类似。两个矢量点乘，\(\vec{V}\cdot\vec{A}=V_xA_x+V_yA_y+V_zA_z\)，得到一个标量。矢量的散度也是一个标量。设矢量场为\(\vec{A}\)，其散度为\(\vec{\nabla}\)与\(\vec{A}\)的点乘，\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\)，具体数学形式，从与点乘的类比，很容易猜得到：

\begin{equation} \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \label{eq2} \end{equation}

两个矢量的叉乘得到一个新的矢量。\(\vec{V}\times\vec{A}\)的三个分量为：

\begin{equation\*} \begin{split} & \left (\vec{V}\times\vec{A}\right )_x = V_yA_z-V_zA_y\\\\ & \left (\vec{V}\times\vec{A}\right )_y = V_zA_x-V_xA_z\\\\ & \left (\vec{V}\times\vec{A}\right )_z = V_xA_y-V_yA_x \end{split} \end{equation\*}

利用列维-奇维塔符号，以上可写为如下形式：

\begin{equation} \left (\vec\{V\}\times\vec\{A\}\right )\_i=\sum\_k\sum\_j \epsilon\_{ijk} V\_jA\_k \label{eq3} \end{equation}

练习1：证明方程\eqref{eq3}，并证明\(V_iA_j-V_jA_i=\sum_k\epsilon_{ijk}\left (\vec{V}\times\vec{A}\right )_i\)

现在，我们把\(\vec{\nabla}\)带入方程\eqref{eq3}，得：

\begin{equation\*} \left (\vec\{\nabla\}\times\vec\{A\}\right )\_i=\sum_j\sum_k \epsilon\_\{ijk\} \nabla\_jA\_k=\sum\_j\sum\_k \epsilon\_\{ijk\} \frac\{\partial A\_k\}\{\partial x_j\} \end{equation\*}

显示地写为：

\begin{equation\*} \begin{split} & \left (\vec{\nabla}\times\vec{A}\right )_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\\\ & \left (\vec{\nabla}\times\vec{A}\right )_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\\\\ & \left (\vec{\nabla}\times\vec{A}\right )_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \end{split} \end{equation\*}

这样，我们从矢量场\(\vec{A}\)，经过一番特殊的求导运算，得到一个新的矢量场\(\vec{\nabla}\times\vec{A}\)，这个新的矢量场称为\(\vec{A}\)的旋度。

关于旋度和散度的关系有如下定理：矢量场的旋度的散度为零。即

\begin{equation*} \vec{\nabla} \cdot \left ( \vec{\nabla}\times\vec{A} \right )=0 \end{equation*}

你可以花上一点时间证明一下。

这个定理有个更严格的说法：当且仅当矢量场是某矢量场的旋度时，矢量场的散度为0。这个定理的证明不太容易。

再说一个容易证明的定理。矢量场\(\vec{E}(x)\)是标量场\(V(x)\)的梯度，

\begin{equation\*} \vec{E}(x)=\vec{\nabla}V(x) \end{equation\*}

则矢量场\(\vec{E}(x)\)的旋度为0，

\begin{equation} \vec{\nabla} \times \vec{E}(x)=\vec{\nabla} \times \left ( \vec{\nabla}V(x) \right ) =0 \label{eq4} \end{equation}

练习2：证明方程\eqref

磁场

磁场（记作\(\vec{B}(x)\)）是一个矢量场。但不是任意一个矢量场都可以表示一个磁场。磁场的特点是散度为零。因此，磁场可以表示为某个辅助场的旋度：

\begin{equation} \vec{B}(x) = \vec{\nabla} \times \vec{A}(x) \label{eq5} \end{equation}

矢量场\(\vec{A}(x)\)称为矢势。方程\eqref{eq5}写成分量形式如下：

\begin{equation} \begin{split} & B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\ & B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\\ & B_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \end{split} \label{eq6} \end{equation}

矢势是一个特殊的场。从某种意义上说，矢势不如磁场和电场真实。矢势是人为定义出的场，即矢势的旋度为磁场。而磁场和电场是可以逐地测量出的场。换言之，如果你想知道某处是否有电场或磁场，你可以在那个地方做实验来判断。实验一般是观测那个地方的带电粒子是否受力。但是矢势不可以逐地测量。首先，磁场对应的矢势不唯一。

设矢势\(\vec{B}(x)\)由方程\eqref{eq5}定义。我们总是可以给\(\vec{A}(x)\)附加一个标量场\(s\)的梯度，得到一个新的矢势，\(\vec{A'}(x)=\vec{A}(x)+\nabla s\)，然而新矢势与原矢势对应同一个磁场，原因是梯度的旋度为0。而新矢势与原矢势无法通过实验来区分。

这不是我们第一次遇到这种不唯一性。一个量定义成另一个量的导数往往会带来这种不唯一性。还记得吗，保守力是势能的负的梯度：

\begin{equation\*} \vec{F}(x)=-\nabla U(x) \end{equation\*}

势能不唯一，相差一个常数的势能对应同一个保守力。这意味着你不可以直接测量势能，而只能测量势能的导数。这一情形与矢势类似，这也正是我们称其为势的原因。

让我们看一个磁场的例子。最简单的磁场是匀强磁场，不失一般性，假设磁场沿\(z\)轴：

\begin{equation} \begin{split} & B_x = 0\\ & B_y = 0\\ & B_z = b \end{split} \label{eq7} \end{equation}

其中\(b\)为磁场的强度。可以找到这个磁场对应的一个矢势

\begin{equation} \begin{split} & A_x = 0\\ & A_y = bx\\ & A_z = 0 \end{split} \label{eq8} \end{equation}

\(\vec{A}(x)\)的旋度只有一个分量，即\(\frac{\partial A_y}{\partial x} = b\)。可以看出以上的磁场和矢势确实是对应的。

现在可以看出一些有意思的事情。匀强磁场\eqref{eq7}关于\(x,y\)平面具有旋转对称性，而矢势\eqref{eq8}只有\(y\)分量。但是我们还找到磁场\eqref{eq7}对应的另一个矢势

\begin{equation} \begin{split} & A'_x = -by\\ & A'_y = 0\\ & A'_z = 0 \end{split} \label{eq9} \end{equation}

这个矢势只有\(x\)分量。

练习3：证明矢势\eqref{eq8}和\eqref{eq9}对应同一个磁场。这意味着这 两个矢势相差一个标量场的梯度，求出这个标量场。

施加一个操作将一个矢势变到另一个矢势，但两个矢势对应同一个磁场，这种操作叫做规范变换。为什么叫规范？这是历史问题。曾经人们一度错误地认为，这反应出不同位置处基长之不同。

矢势不唯一，但磁场是确定无疑的，那么还干嘛搞出一个矢势？答案是没有矢势，我们不能用平稳作用量原理或拉格朗日、哈密顿或泊松力学理论描述磁场中的粒子的运动。这好像有点奇怪，磁场在物理上是规范不变的，但是理论形式需要我们选定一个特定的规范。

带电粒子受力

带电粒子在电场\(\vec{E}\)和磁场\(\vec{B}\)中会受到力的作用。电场力比较简单，力的形式我们前面已经见过了，即势能的梯度。电场力为

\begin{equation\*} \vec{F}=e\vec{E} \end{equation\*}

其中\(e\)为粒子的电量。根据电磁学理论，静态电场（不随时间变化的电场）\(\vec{E}\)旋度为零，因此可写为标量场的梯度，

\begin{equation\*} \vec{E}=-\vec{\nabla} V \end{equation\*}

因此力可写为

\begin{equation\*} \vec{F}=-e\vec{\nabla} V \end{equation\*}

势能为\(eV\)（原文是$ e \vec{\nabla} V $，错误）。一切如我们前面的力学一样。

磁场力的形式有所不同，更复杂一些。磁场力不仅与粒子的位置有关，还与粒子的速度有关。磁场力是荷兰物理学家洛伦兹提出的，称为洛仑兹力，具体形式为

\begin{equation} \vec{F}=\frac{e}{c}\vec{v} \times \vec{B} \label{eq10} \end{equation}

其中\(c\)为光速。可以看出，洛仑兹力同时垂直于速度和磁场。再有牛顿第二定律，\(\vec{F}=m\vec{a}\)，可得磁场中运动的带电粒子的运动方程为

\begin{equation} m\vec{a}=\frac{e}{c}\vec{v} \times \vec{B} \label{eq11} \end{equation}

我们前面遇到过类似洛仑兹力与速度有关的力。在旋转参考系，有两个假的力：离心力和科里奥利力。科里奥利力形式为：

\begin{equation} \vec{F}=2m\vec{v} \times \vec{\omega} \label{eq12} \end{equation}

其中\(\vec{\omega}\)为旋转参考系的角速度。科里奥利力和洛仑兹力很像，角速度与磁场地位相当。当然，不是所有的磁场都是匀强磁场，所以磁场比科里奥利力复杂得多。

拉格朗日量

现在有一个新的问题：如何用作用量或拉格朗日力学描述磁场力？把人搞迷糊的一个地方是，作用量和矢势的符号都是\(A\)。在下文，我们用\(A\)表示作用量，用\(\vec{A}\)或\(A_i\)表示矢势。暂时先不考虑电场力，只关注磁场力，或者说洛仑兹力。我们从不受力的自由粒子的作用量开始讨论。不受力的自由粒子的作用量为

\begin{equation\*} A = \int_{t_0}^{t_1}L(x,\dot{x})dt \end{equation\*}

其中拉格朗日量为

\begin{equation\*} L = \frac{1}{2}m(\dot{x}_i)^2 \end{equation\*}

这里\(i\)为空间坐标方向。这里隐含了对坐标分量\(x,y,z\)的求和。要习惯这种表示。

如何加上表示洛伦兹力的项？答案不是显而易见的。但是，我们可以判断出的是，加上的项应该与电量成正比，还要是磁场的函数。

你可以根据这点线索尝试着去找，结果可能会令你沮丧。直接用\(\vec{B}\)不会得到正确结果的。解决此问题的关键在于矢势。我们能想到的最简单的情况是把矢势与速度矢量组合起来。我们知道，拉格朗日量只是坐标和速度的函数。你可能会尝试着把坐标与矢势做点乘，但此路不通。现在我们只好尝试把矢势与速度点乘起来，给拉格朗日量加上如下一项：

\begin{equation} \frac{e}{c}\vec{v} \times \vec{A}(x)=\frac{e}{c}\sum_i \left [\dot{x}_iA_i(x)\right ] \label{eq13} \end{equation}

其中有光速，因为洛仑兹力里有光速。因此我们试一下如下作用量：

\begin{equation} A=\int_{t_0}^{t_1}\sum_i \left [ \frac{1}{2}m(\dot{x}_i)^2 + \frac{e}{c} \dot{x}_iA_i(x)\right ] dt \label{eq14} \end{equation}

你可能会提出反对意见，运动方程不应该有矢势，只该有磁场。我们知道，矢势不唯一，如果做个规范变换，\(\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}s\)，我们会得到另外的答案吗？我们做个规范变换，带入作用量\eqref{eq14}，看看会得到什么？

作用量重要一项来自方程\eqref{eq13}，

\begin{equation\*} A_L=\int_{t_0}^{t_1}\sum_i \left [ \frac{e}{c} A_i(x) \dot{x}_i\right ] dt \end{equation\*}

更明显写为

\begin{equation\*} A_L=\int_{t_0}^{t_1}\sum_i \left [ \frac{e}{c} A_i(x)\frac{dx_i}{dt}\right ] dt \end{equation\*}

作用量里的这项\(A_L\)是为考虑洛仑兹力所加的项，因此下标为\(L\)。给\(\vec{A}\)加上\(\vec{\nabla}s\)，则相应的\(A_L\)会加上如下一项

\begin{equation\*} \int_{t_0}^{t_1}\sum_i \left [ \frac{e}{c} \frac{\partial s}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt}\right ] dt = \frac{e}{c} \sum_i \left ( \int_{t_0}^{t_1} \frac{\partial s}{\partial x_i} dx_i\right ) \end{equation\*}

这个积分的结果正是\(s\)在轨迹末端与初始点的值的差。换言之，规范变换使作用量增加了一项\(s_1-s_0\)。\(s_1\)和\(s_0\)分别是\(s\)在轨迹末端与初始点的值。规范变换给作用量带来的该变量为

\begin{equation} s_1-s_0 \label{eq15} \end{equation}

作用量的改变量会改变运动方程吗？让我们回顾一下作用量原理的内容。给定空间和时间的两点，\((x_0，t_0)\)和\((x_1，t_1)\)，有许许多多可能的轨迹连接这两点，但粒子只沿真实轨迹运动。真实轨迹就是作用量取极小值时，更准确说是轨迹取平稳值时，对应的轨迹。我们考察所有这些可能的轨迹，直到找到平稳作用量解。根据这个原理，我们可以导出欧拉-拉格朗日运动方程。

如方程\eqref{eq15}，只有改变轨迹初末点，规范变换才会改变作用量。如果初末点保持不变，作用量的变化对运动就没有什么物理效应。尽管作用量变了，但运动方程并不变，运动方程的解也不变。我们说运动方程及其解是规范不变的。

再说一点物理黑话。同一物理状况，矢势有多种可能选择，每个具体的选择称为一个规范。比如，方程\eqref{eq8}和\eqref{eq9}是两个不同的规范，但描述同一个匀强磁场。任何实验都与规范选择无关，这称为规范不变性。

运动方程

再回到作用量，即方程\eqref{eq14}。将此方程中的拉格朗日量展开，即为

\begin{equation} L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{e}{c}(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z) \label{eq16} \end{equation}

从\(x\)坐标开始讨论。拉格朗日运动方程为

\begin{equation} \dot{p_x}=\frac{\partial L}{\partial x} \label{eq17} \end{equation}

这里的动量是正则动量。你或许以为动量就是质量与速度的乘积。非也。动量的正确定义是拉格朗日与速度分量的导数。对于一般的情况确实有\(p=mv\),但是对于磁场中的带电粒子，由方程\eqref{eq16}可得动量为

\begin{equation} p_x=m\dot{x}+\frac{e}{c}A_x \label{eq18} \end{equation}

上式可能会带给你疑虑。此式表明，正则动量不是规范不变的。确实如此，但是我们的讨论还没完。我们还有两件事要做。我们还得计算\(p_x\)对时间的导数，还得计算方程\eqref{eq17}的右边。也许我们比较走运，与规范有关的项会抵消。

方程\eqref{eq17}的左边为

\begin{equation\*} \dot{p}_x=ma_x+\frac{e}{c}\frac{d}{dt}A_x=ma_x+\frac{e}{c}\left ( \frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z} \right ) \end{equation\*}

其中\(a_x\)为加速度的\(x\)分量。

方程\eqref{eq17}的右边为

\begin{equation\*} \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{e}{c}\left ( \frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z} \right ) \end{equation\*}

以上两式组合在一起，可得

\begin{equation} ma_x = \frac{e}{c}\left ( \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right )\dot{y}+\frac{e}{c}\left (\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right )\dot{z} \label{eq19} \end{equation}

此式看起来挺复杂，但由方程\eqref{eq6}和\eqref{eq7}，方程\eqref{eq19}中括号分别为磁场的\(z\)和\(y\)分量，可以把方程\eqref{eq19}写成更简单的形式：

\begin{equation} ma_x = \frac{e}{c} ( \dot{B}_z\dot{y}-\dot{B}_y\dot{z} ) \label{eq20} \end{equation}

对于方程\eqref{eq20}，由以下几点值得特别注意。首先，这个方程是规范不变的：方程的右边只有磁场，没有矢势。方程的左边是质量和加速度的乘积——牛顿方程的左边。方程\eqref{eq20}正是牛顿-洛伦兹运动方程\eqref{eq11}。

你可能会奇怪，干嘛找麻烦引入矢势？直接写出规范不变的牛顿-洛伦兹方程不好吗？答案是这么做是可以，但是就没办法运用作用量原理还有哈密顿运动方程研究磁场中粒子的运动了。在经典理论里，这没什么大问题，但是在量子力学，将是个灾难性的事情。

哈密顿量

在讨论磁场中带电粒子哈密顿量之前，我们再回到粒子动量的定义。你可能还觉得比较迷惑，怎么有两个动量：机械动量和正则动量。机械动量就是你在初等力学里学的动量（动量为质量乘以速度），正则动量是高等力学里的概念（正则动量是拉格朗日量对相应速度的导数）。在最简单的情况里，拉格朗日量是动能与势能的差，两种动量是一样的，因为只有动能\(\frac{mv^2}{2}\)与速度有关。

但是如果拉格朗日量更为复杂，两种动量未必一样。方程\eqref{eq18}就是一个例子。正则动量是机械动量加上一个正比于矢势的项，可写为如下矢量形式：

\begin{equation} \vec{p} = m\vec{v}+ \frac{e}{c}\vec{A}(x) \label{eq21} \end{equation}

机械动量看着比较熟悉。机械动量是规范不变的，是直接可观测量，在这个意义上说，它是“真实的”。正则动量我们不熟悉，不够“真实”。如果你做规范变换，正则动量就会改变。不管正则动量是不是真实，如果你想用拉格朗日量或哈密顿量语言描述带电粒子的力学，就必须引入正则动量。

现在我们转向哈密顿力学。哈密顿量定义

\begin{equation\*} H = \sum_i p_i\dot{q}_i - L \end{equation\*}

在磁场中的带电粒子这个问题，哈密顿量为

\begin{equation} H = \sum_i \left \{p_i\dot{x}_i -\left [\frac{m}{2}\dot{x}_i^2+\frac{e}{c}\dot{x}_i\cdot A_i(x) \right ]\right \} \label{eq22} \end{equation}

我们继续，把哈密顿量最终形式写出来。首先我们要消除速度，因为哈密顿量只是坐标和动量的函数。这很简单，只需根据方程\eqref{eq21}中把速度用\(p\)表示出来：

\begin{equation} \dot{x}_i = \frac{1}{m}\left[ p_i - \frac{e}{c}A_i(x) \right ] \label{eq23} \end{equation}

将方程\eqref{eq23}带入方程\eqref{eq22}，稍加整理，得哈密顿量最终形式为

\begin{equation} H = \sum\_i \left \{ \frac{1}{2m}\left[ p\_i - \frac{e}{c}A\_i(x) \right ]\left[ p\_i - \frac{e}{c}A\_i(x) \right ] \right \} \label{eq24} \end{equation}

练习4：由哈密顿量，即\eqref{eq24}，导出哈密顿运动方程，证明你得到的正是牛顿-洛伦兹运动方程。

仔细观察方程\eqref{eq24}，你会发现一些令你惊奇的事情。方括号里面的\(p_i - \frac{e}{c}A_i(x)\)正是机械动量\(mv_i\)，哈密顿量不是别的，正是

\begin{equation*} H = \frac{1}{2}mv^2 \end{equation*}

换言之，哈密顿量的数值正是动能。这证明能量是规范不变的。哈密顿量守恒，动能也是守恒的，只要磁场不随时间变化。但是这不意味着粒子的运动不受磁场影响。如果你要从哈密顿量得到运动方程，你必须把哈密顿量写为正则动量的函数，而不是速度的函数，然后才能利用哈密顿方程。或者你从速度讨论运动方程，你要从拉格朗日量出发来讨论，但是拉格朗日量不是动能。不管用哪种方法，你都可以得到运动方程，你会发现，带电粒子受到一个规范不变的洛伦兹磁场力。

带电粒子在均匀磁场中的运动

带电粒子在均匀磁场中的运动求解很简单，并且可以展示我们前面讨论的各原理。我们假设磁场沿\(z\)方向，大小为\(b\)，即方程\eqref{eq6}、\eqref{eq7}所描述的磁场。方程\eqref{eq8}和\eqref{eq9}是规范变换带来的矢势不唯一性的实例。我们先选取矢势为方程\eqref{eq8}，带入哈密顿量\eqref{eq24}，得

\begin{equation*} H = \frac{1}{2m}\left[ p_x^2+p_z^2+ (p_y - \frac{e}{c}bx)^2 \right ] \end{equation*}

像以前一样，第一件事情是寻找守恒量。第一个守恒量是能量。我们前面讨论过了，粒子的能量即是动能\(\frac{1}{2}mv^2\)。因此，速度的大小是不变的。

容易发现，哈密顿量里面只有\(x\)坐标，因此，\(p_x\)不守恒，而\(p_y\)和\(p_z\)守恒。这意味着什么呢？由于\(A_z=0\)，\(p_z=mv_z\)，\(p_z\)守恒意味着速度的\(z\)分量不变。再看\(p_y\)，\(p_y \neq mv_y\)，而是\(p_y = mv_y+\frac{e}{c}bx\)。\(p_y\)守恒意味着

\begin{equation*} ma_y+\frac{e}{c}bv_x=0 \end{equation*}

即

\begin{equation} a_y=-\frac{e}{mc}bv_x \label{eq25} \end{equation}

注意，\(p_y\)守恒不意味着速度的\(y\)分量守恒。

\(p_x\)呢？\(H\)显含\(x\)，因此\(p_x\)不守恒。我们可以根据哈密顿方程得到加速度的\(x\)分量，但是我要换种方法来做。这次矢势我们改取\eqref{eq9}，则哈密顿量为

\begin{equation*} H = \frac{1}{2m}\left[ (p_x+\frac{e}{c}by)^2+p_y^2+ p_y^2 \right ] \end{equation*}

现在哈密顿量不显含\(x\)，这意味着\(p_x\)守恒。这怎么可能？我们刚说了，矢势选\eqref{eq8}，\(p_x\)不守恒。答案是我们做个规范变换，\(p\)的变量就会变化。在两种情况，\(p_x\)含义是不同的。

我们看下新规范里\(p_x\)守恒的含义，而\(p_x=mv_x-\frac{e}{c}by\)，\(p_x\)守恒，则有

\begin{equation} a_x=\frac{e}{mc}bv_y \label{eq26} \end{equation}

可以看到，方程\eqref{eq25}和\eqref{eq26}很像，它们正是均匀磁场中带电粒子运动的牛顿-洛伦兹运动方程。

练习5：证明方程\eqref{eq25}和\eqref{eq26}的解表示\(x,y\)平面内的圆周运动。求出圆周运动的半径（用速度表示）。

规范不变性

最后一讲我们讲磁力，希望读者将来进一步学习量子力学和场论的时候，能记得本课程。规范场和规范不变性不是写出拉格朗日力学里洛仑兹力顺带的无足轻重的玩意儿。高等物理里，从量子电动力学到广义相对论及更深的理论，规范场和规范不变性都是核心的指导性原理。比如，在凝聚态物理里，解释超导等各种实验现象，规范场和规范不变性起着主导作用。我们再解释下规范的含义，结束经典物理讲义，但是规范的重要性在后续的物理课程才会清晰呈现。

规范场最简单的含义——最初级的例子就是矢势——是一种辅助性工具，使某些约束条件得以满足。在磁场的情形，\(\vec{B}(x)\)
的函数形式不是任意的，约束条件是\(\vec{B}(x)\)的散度为零：

\begin{equation\*} \vec{\nabla}\cdot {\vec{B}} = 0 \end{equation\*}

要保证这个约束条件，我们可以把磁场写为某个场\(\vec{A}\)的旋度，因为旋度的散度自动为零。这是一个巧妙的技巧，就不用担心\(\vec{B}(x)\)所受的约束。

引入\(\vec{A}\)后，我们发现没有\(\vec{A}\)还真不行。没有矢势就没办法从拉格朗日力学导出牛顿-洛仑兹定律。这就是物理研究的工作模式：近代物理里面从拉格朗日力学或哈密顿力学得出方程，必须引入辅助规范场。

规范场很抽象，不够直观。尽管必不可少，你可以对规范场做某种改变，而不影响物理结果。对规范场的变化称为规范变换，物理结果不变叫做规范不变性。规范场不是“真实的”场，因为规范场的规范变换不影响物理结果。另外，没有规范场和规范变换，我们不能表述物理定律。

暂别

经典物理到此为止。你已具备继续学习的基础。量子力学再见！