我的电磁学讲义17：电介质

电介质

电介质就是绝缘体。电容器两极板之间往往夹有电介质。这样做的好处是，一提高电容器的力学稳定性。二是增加两极板之间的最大容许电势差，以免电容器被击穿。一般而言，电介质的击穿电压高于空气。三是，能提高电容器电容。电容器插入电容器后，电容器两极板之间的电压会减小，如图1所示。

图1 将电介质插入电容器后，两极板间电压减小

电介质插入前后，电容器两极板间电势差分别为\(U_0\)和\(U\)，二者的比值为

\begin{equation*} \epsilon_r=\frac{ U_0}{U} \gt 1 \end{equation*}

电容比值为

\begin{equation*} \epsilon_r=\frac{ C}{C_0} \end{equation*}

常数\(\epsilon_r\)为相对介电常数，也称相对电容率，这是一个无量纲的数。真空的相对介电常数定为1，空气的相对介电常数为1.0006，非常接近1。

极化

电容器极板间插入电介质，两极板电势差减小，说明两极板间的电场减弱了。对于平行板电容器，电介质插入前后的电场\(E_0\)和\(E\)的关系为：

\begin{equation*} E=\frac{E_0}{\epsilon_r} \end{equation*}

电场变小，说明表面电荷密度也要变小，极板上的电荷不会发生变化，但是会在电介质上表面诱导出相反电荷。电介质是电中性的，放入电容器之间仍然会保持为电中性，但是会重现排布电介质内的电荷，这种现象叫做极化。

一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。但一般情况下，每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点而是分布在分子所占体积之中的，线度为\(10^{-10}\mathrm m\)数量级内的体积。

有些电介质的分子的等效正、负电荷中心不重合的电介质称为有极分子电介质。如 HCl 、 H2O、CO、SO2、NH3、……。其分子有等效电偶极子，它们的电矩称作分子的固有电矩。

图2 有极分子

有些电介质的分子的等效正、负电荷中心重合的电介质称为无极分子电介质，分子的固有电矩为 0 ，如所有的惰性气体及CH4等。

图3 无极分子

无外电场时，无极分子电介质固有电矩为零，呈电中性。对有极分子电介质，因其无规则热运动，每个分子的固有电矩的取向都是杂乱无章的，故在介质内任取一个小体积元，各个分子电矩的矢量和必定为零，也呈电中性。

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图4 无外场时，无极分子和有极分子都呈电中性

对于无极分子，在外电场作用下，分子正电中心和负电中心发生相对位移，形成附加分子偶极子，此称为位移极化。

图5 无极分子位移极化

有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为取向极化。

图6 有极分子取向极化

由于极化，在介质表面产生的电荷称为极化电荷。由于这种电荷不能移动，被束缚在介质表面，不能与导体板上的电荷中和，故又称为束缚电荷。这种电荷是施加外电场产生的，因此又叫做诱导电荷。

极化电荷也会产生一个电场。

下面我们看下平行板电容器间极化电荷面密度\(\sigma'\)与极板上的电荷面密度\(\sigma_0\)的关系，它们分别产生的电场为\(E'\)和\(E_0\)，总的电场为二者的叠加，

图7 平行板电容器间的退极化场

\begin{equation*} E=E_0-E'=\frac{\sigma_0}{\epsilon_0}-\frac{\sigma'}{\epsilon_0}=\frac{E_0}{\epsilon_r}=\frac{\sigma_0}{\epsilon_0\epsilon_r} \end{equation*}

于是有

\begin{equation*} \sigma'=\sigma_0\left (1-\frac{1}{\epsilon_r}\right ) \end{equation*}

极化强度矢量

电介质放入电场以后，电介质的分子会发生位移极化或取向极化，产生附加电场，附加电场又会对电介质分子产生作用，进一步改变极化程度，这种相互作用和相互影响直到达到平衡为止。所以说，电介质的极化会持续一定时间的。

电介质的极化程度与每个分子的电偶极矩有关，还与电偶极矩排列的整齐程度。为了描写极化程度，我们引入极化强度矢量，定义为电介质内单位体积内分子电偶极矩矢量和：

\begin{equation*} \vec{P}=\frac{\sum \vec{p}_{mol}}{\Delta V} \end{equation*}

式中\(\Delta V\)为宏观上无穷小的体积元，\(\sum \vec{p}_{mol}\)为体积元\(\Delta V\)内分子电偶极矩矢量和。

电介质未被极化时，\(\vec{P}=0\)，对于无极分子，因为\(\vec{p}_{mol}=0\)，对于有极分子，\(\vec{p}_{mol}\neq 0\)，但\(\sum \vec{p}_{mol}=0\)。

极化强度\(\vec{P}=0\)与极化电荷密切相关。

先考虑均匀电介质，即分子的数密度处处相等，极化也是均匀的，且电场也是均匀的，假定分子电偶极矩都沿电场方向排列，如图8所示。在电介质内部，电偶极子首尾相接，电荷效应互相抵消，但是在电介质表面，一边聚集电偶极子的头，一边聚集电偶极矩的尾，因而电介质表面上有了电荷分布。这种电荷是因为电介质极化而产生的，故称为极化电荷。

图8 均匀极化电介质表面的极化面电荷

对于两种不同的（包括组分相同但密度不同的情况）均匀电介质，除了电介质表面出现计划电荷外，两种介质的界面上也会出现极化电荷，如图9所示。

图9 两种均匀极化电介质界面处的极化面电荷

如果电介质是由很多很多均匀电介质小块“混合”而成的，如果小块非常小，以致整个介质内部处处都有界面，在界面上有面电荷分布，结果在介质内部实际出现了体分布的极化电荷。这种由无限多种（包括密度不同）的电介质组成的电介质实际上就是非均匀电介质。所以，非均匀电介质极化后，不但在电介质表面有极化电荷分布，电介质内部也有极化电荷分布。

考虑一种已经极化的电介质，在其内部取体积为\(V\)的一块介质作为研究对象，这块介质的表面为\(S\)，如图10所示。显然，完全处在体积\(V\)内的电偶极子对\(V\)内的净电荷没有贡献，全部位于\(V\)之外的电偶极子当然对\(V\)内的净电荷也没有贡献。对\(V\)内的净电荷有贡献的电偶极子是那些被\(S\)面截断的电偶极子。

图10 包围在闭合曲面内的极化电荷取决于被面所截的电偶极子

下面我们计算被\(S\)面截断的电偶极子的数目。在\(S\)面上取面积元\(\mathrm dS\)，面积元的外法向单位矢量为\(\vec{e}_n\)。面积元上各点可以认为极化强度矢量\(\vec{P}\)相同，分子的偶极子都有相等的\(q\)和\(\vec{l}\)，因此有相等的电偶极矩\(\vec{p}_{mol}=\vec{p}=q\vec{l}\)，且\(\vec{p}\)与\(\vec{P}\)平行，与\(\vec{n}\)夹角为\(\theta\)。在面积元\(\mathrm dS\)两侧对称地做一斜柱体，如图11所示。显然，中心位于斜柱体内的电偶极子都被面积元\(\mathrm dS\)所截。斜柱体的体积为\(l|\cos\theta|\mathrm dS\)，设单位体积内电偶极子数目为\(n\)，因此被面积元\(\mathrm dS\)所截的电偶极子数目为\(nl|\cos\theta|\mathrm dS\)，在体积\(V\)内贡献的电量为

\begin{equation*} \mathrm dq'=-nql\cos\theta\mathrm dS=-\vec{P}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

上式中的负号可按如下考虑：当\(\theta\)为锐角时，被截的偶极子把负电荷留在体积\(V\)内，因此需要加一负号才可以使\(\mathrm dq'\lt 0\)。同样可分析\(\theta\)为钝角的情况。

图11 被面元所截的电偶极子

上式对整个闭合曲面积分，即得体积\(V\)内极化电荷的净电量：

\begin{equation*} q'=-\oint\vec{P}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

即电介质内部任意体积\(V\)内极化电荷的净电量等于极化强度对包围\(V\)的闭合曲面的通量的负值。

有电介质时的高斯定理

当外电场中存在电介质时, 由于极化将引起周围电场的重新分布。 这时空间任一点的电场将由自由电荷\(q_0\)和束缚电荷\(q'\)共同产生，电场与电荷满足高斯定理：

\begin{equation*} \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{内}(q_0+q') \end{equation*}

由于介质中的束缚电荷难以测定, 即使满足对称性要求, 仍很难用上式求出电场强度。

我们以平行板电容器为例，说明有电介质时的高斯定理。如图所示，做高斯面，根据高斯定理，有

图8 有电介质时的高斯定理

\begin{equation*} \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}(\sigma_0-\sigma')S \end{equation*}

又

\begin{equation*} \sigma'=\sigma_0\left (1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right ) \end{equation*}

于是，有

\begin{equation*} \oint \epsilon_0\epsilon_r\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\sigma_0 S \end{equation*}

引入电位移矢量 \(\vec{D}=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}\)，则有

\begin{equation*} \oint \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}=\sigma_0 S \end{equation*}

上式可推广至一般情况：

\begin{equation*} \oint \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}=\sum_{内}q_0 \end{equation*}

这正是有电介质时的高斯定理。通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷的代数和, 与极化电荷及高斯面外电荷无关。

下面我们用更严格的方式，给出有电介质时的高斯定理。

极化强度\(\vec{P}\)由电介质内的总电场\(\vec{E}\)决定，而总电场\(\vec{E}\)是外电场\(\vec{E}_0\)和极化电荷的电场\(\vec{E}'\)的矢量和：

\begin{equation*} \vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E}' \end{equation*}

对于各向同性线性介质，极化强度\(\vec{P}\)与总场强\(\vec{E}\)成线性关系：

\begin{equation*} \vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E} \end{equation*}

其中\(\chi_e\)称为极化率，与场强\(\vec{E}\)无关，是电介质材料本身的性质，反映了电介质极化难易的程度。极化率\(\chi_e\)是个无量纲的数。

有电介质存在的时候，库仑定律，也即高斯定理，依然成立，只不过计算总电场的电通量时，应计及高斯面内的自由电荷\(q_0\)和极化电荷\(q'\)：

\begin{equation*} \oint \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{内}(q_0+q') \end{equation*}

而

\begin{equation*} \sum_{内}q'=-\oint\vec{P}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

于是，有

\begin{equation*} \oint (\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot\mathrm d\vec{S}=\sum_{内}q_0 \end{equation*}

引入物理量\(\vec{D}\):

\begin{equation*} \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon_0\vec{E}+\varepsilon_0\chi_e\vec{E}=(1+\chi_e)\varepsilon_0\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \end{equation*}

\(\vec{D}\)称为电位移矢量，\(\varepsilon_r=1+\chi_e\)叫做相对介电常数。有电介质时的高斯定理为：

\begin{equation*} \oint \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}=\sum_{内}q_0 \end{equation*}

例 在半径为\(R\)的金属球之外有一层半径为\(R´\)的均匀介质层,设电介质相对电容率为\(\varepsilon_r\)，金属球带电量为\(Q\) 。求（1）求电场分布，（2）求电势分布

根据高斯定理，

\begin{equation*} \oint \vec{D}\cdot\mathrm d\vec{S}=D\times 4\pi r^2=Q \end{equation*}

于是有，

\begin{equation*} D=\frac{Q}{4\pi r^2} \end{equation*}

介质内电场：

\begin{equation*} E_1=\frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2} \end{equation*}

介质外电场：

\begin{equation*} E_2=\frac{D}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{equation*}

介质内电势

\begin{equation*} U_1=\int_r^{R'} E_1\mathrm dr+\int_{R'}^{\infty} E_2\mathrm dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r }\left(\frac{1}{r}+\frac{\varepsilon_r-1}{R} \right) \end{equation*}

介质外电势

\begin{equation*} U_2=\int_{r}^{\infty} E_2\mathrm dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r} \end{equation*}

参考资料

• 郑永令《电磁学》
• 赵凯华《电磁学》