我的电磁学讲义15：互感和自感

互感

图1 两线圈之间的互感

如图1所示，线圈1中的电流变化时所激发的变化磁场，会在它临近的线圈2中产生感应电动势。同样，线圈2中的电流变化时，也会在线圈1中产生感应电动势。这种现象称为互感现象，所产生的感应电动势称为互感电动势。

线圈1所激发的磁场通过线圈2的磁通链匝数\(\Psi_{12}\)与线圈1中的电流\(I_1\)成正比

\begin{equation*} \Psi_{12}=M_{12}I_1 \end{equation*}

同理，线圈2所激发的磁场通过线圈1的磁通链匝数\(\Psi_{21}\)与线圈2中的电流\(I_2\)成正比

\begin{equation*} \Psi_{21}=M_{21}I_2 \end{equation*}

比例系数\(M_{12}\)和\(M_{21}\)称为互感系数，简称互感。互感系数由线圈的几何形状、大小、匝数以及线圈之间的相对位置所决定，与电流无关。互感的单位为亨利，符合为\(\mathrm{H}\)，纪念美国物理学家约瑟夫·亨利。

\begin{equation*} 1\mathrm{H}=1\mathrm{Wb}/\mathrm{A}=1\mathrm{V\cdot s}/\mathrm{A} \end{equation*}

图2 约瑟夫·亨利肖像

可以证明\(M_{12}\)和\(M_{21}\)大小相等：

\begin{equation*} M_{12}=M_{21}=M \end{equation*}

这个结果不是显然的，因为一般来说，两个线圈没有什么对称性。这是倒易关系的一个特例。由于这个倒易关系，互感系数就不用写下标了，也不用特意说明谁对谁的互感系数，直接称互感即可。

两个线圈中产生的互感电动势分别为：

\begin{equation*} \mathcal{E}_2=-\frac{\mathrm d\Psi_{12}}{\mathrm dt}=-M\frac{\mathrm dI_1}{\mathrm dt} \end{equation*}

\begin{equation}
\mathcal{E}1=-\frac{\mathrm d\Psi{21}}{\mathrm dt}=-M\frac{\mathrm dI_2}{\mathrm dt}
\end{equation}

例1 长直螺线管外面又密绕一个短线圈，长直螺线管匝数为\(N_1\)，长度为\(l\)，截面积为\(S\)，短线圈匝数为\(N_2\)，求互感系数。如果长直螺线管内通随时间变化的电流\(I_1(t)\)，求短线圈中产生的互感电动势。

图3 长直螺线管在短螺线管中产生互感电动势

长直螺线管在管内部产生的磁感应强度为

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I_1N_1}{l} \end{equation*}

通过短线圈的磁通链匝数为

\begin{equation*} \Psi_{21}=N_2BS=\frac{\mu_0I_1N_1N_2S}{l} \end{equation*}

于是，互感系数为

\begin{equation*} M=\frac{\Psi_{21}}{I_1}=\frac{\mu_0N_1N_2S}{l} \end{equation*}

短线圈中产生的互感电动势

\begin{equation*} \mathcal{E}_2=-M\frac{\mathrm dI_1}{\mathrm dt}=-\frac{\mu_0N_1N_2S}{l}\frac{\mathrm dI_1}{\mathrm dt} \end{equation*}

一般情况下的互感系数计算都比较复杂，一般用实验的方法测定。

自感

当一个线圈中的电流变化的时候，它所激发的磁场通过线圈自身的磁通量（或磁通链匝数）也在变化，使线圈自身产生感应电动势，这就是自感现象，所产生的电动势叫做自感电动势。

图4 自感现象的演示

自感现象可通过图4所示实验来演示。接通开关瞬间，灯\(\mathrm{S}_1\)先亮。右图，开关断开瞬间，灯并不立即熄灭。

当线圈的形状和周围介质（无铁磁介质）都确定后，线圈中的电流所激发的磁场通过线圈自身的磁通链匝数正比于线圈中的电流，即

\begin{equation*} \Psi =LI \end{equation*}

其中比例系数\(L\)与线圈中电流无关，由线圈的大小、几何形状、匝数决定。当线圈中的电流改变时，$\Psi $也随之而变，根据法拉第定律，线圈中自感电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}=-L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} \end{equation*}

可以看出，对于相同的电流变化率，比例系数\(L\)越大，自感电动势越大，即自感作用越强。比例系数\(L\)称为自感系数，简称自感。自感的单位也是亨利（\(\mathrm{H}\)）。

自感系数一般由实验确定，理论计算一般比较复杂。

例2 求单层密绕长直螺线管的自感系数。

设螺线管单位长度匝数为\(n\)，匝数为\(N\)，长度为\(l\)，截面积是\(S\)，导线内通电流\(I\)时，管内磁感应强度为

\begin{equation*} B = \mu_0 nI \end{equation*}

穿过螺线管的磁通链匝数为

\begin{equation*} \Psi = NBS=\mu_0 nINS=\mu_0 n^2IlS=\mu_0 n^2IV \end{equation*}

其中\(V=Sl\)为螺线管体积。于是，得自感系数为

\begin{equation*} L=\frac{\Psi}{I} = \mu_0 n^2V \end{equation*}

例3 传输线由两个共轴长圆筒组成，半径分别为\(R_1\)和\(R_2\)，电流从内筒一端流入，从外筒另一端流回，求传输线中长为\(l\)的一段的自感系数。

图5 例3图

设电流为\(I\)，根据安培环路定理，两筒之间磁感应强度为

\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{equation*}

通过图中\(\mathrm{ABCD}\)面积的磁通量为

\begin{equation*} \Phi=\int B\mathrm dS = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 I}{2\pi r}l\mathrm dr = \frac{\mu_0 I}{2\pi }l\ln\frac{R_2}{R_1} \end{equation*}

因此，自感系数为

\begin{equation*} L=\frac{\Phi}{I}= \frac{\mu_0 }{2\pi }l\ln\frac{R_2}{R_1} \end{equation*}

自感磁能和互感磁能

考虑图4中第2个演示实验。开关突然打开，电源已经不向灯泡输送能量了，那它突然亮一下的能量来自哪里呢？使灯泡闪亮一下的电流是线圈中的自感电动势产生的，而此电流是随着线圈的磁场的消失而逐渐消失，所以可以认为，使灯泡闪亮的能量是储存在线圈中的，或者说是储存在线圈中的磁场中的，因此这种能量叫做自感磁能。自感为\(L\)的线圈通有电流\(I\)时所储存的磁能应该等于电流消失过程中自感电动势所做的功。

我们先看线圈如何储存磁能。线圈与电源接通时，电流并不是立刻从0变化到稳定值\(I\)，而是要经过一段时间。在这段时间里，电流在增大，因而有反方向的电动势存在，因此电源要反抗电动势做功，在时间\(\mathrm dt\)内，电源反抗自感电动势做功为

\begin{equation*} \mathrm dA=-\mathcal{E}_Li(t)\mathrm dt \end{equation*}

其中，\(i(t)\)为\(t\)时刻电流，自感电动势\(\mathcal{E}_L=-L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\)，因此

\begin{equation*} \mathrm dA=-\mathcal{E}_Li(t)\mathrm dt=Li\mathrm di \end{equation*}

在建立电流的整个过程中，电源反抗自感电动势做功

\begin{equation*} A=\int \mathrm dA=\int_0^I Li\mathrm di=\frac{1}{2}LI^2 \end{equation*}

这部分功转化为磁能储存在线圈中。

\begin{equation*} W_L=\frac{1}{2}LI^2 \end{equation*}

当切断电流时，电流由稳定值\(I\)减小到0，自感电动势消耗磁能对外做功，在整个电流减小的过程中对外做功

\begin{equation*} A'=\int \mathcal{E}_Li(t)\mathrm dt=-\int_{I}^0 Li\mathrm di=\frac{1}{2}LI^2 \end{equation*}

同样，可以计算互感磁能。两个相邻线圈1和2，分别通电流\(I_1\)和\(I_2\)，在建立的电流的过程中，电源反抗互感电动势做功为

\begin{equation*} \begin{split} A&=A_1+A_2=-\int\mathcal{E}_{21}i_1\mathrm dt-\int\mathcal{E}_{12}i_2\mathrm dt \\ &=\int\left [M_{21}i_1\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}+M_{12}i_2\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}\right ]\mathrm dt\\ &=M_{12}\int\frac{\mathrm d(i_1i_2)}{\mathrm dt}\mathrm dt=M_{12}\int_0^{I_1I_2} \mathrm d(i_1i_2)\\ &=M_{12}I_1I_2 \end{split} \end{equation*}

这部分功以磁能的形式储存起来

\begin{equation*} W_{12}=M_{12}I_1I_2 \end{equation*}

综上，两个相邻线圈存储的总磁能为

\begin{equation*} \begin{split} W_m=&\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+M_{12}I_1I_2\\ =&\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+\frac{1}{2}M_{12}I_1I_2+\frac{1}{2}M_{21}I_1I_2 \end{split} \end{equation*}

推广至\(k\)个线圈的情况

\begin{equation*} W_m=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^kL_iI_i^2+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1,i\neq j}^kM_{ij}I_iI_j \end{equation*}

对于磁场的能量也可以引入能量密度的概念。比如对于长直螺线管，\(L=\mu_0n^2V\)，\(B=\mu_0nI\)，自感磁能为

\begin{equation*} W_L=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\mu_0n^2VI^2=\frac{B^2}{2\mu_0}V \end{equation*}

所以，长直螺线管内磁能密度为

\begin{equation*} w_m=\frac{B^2}{2\mu_0} \end{equation*}

例4 求例3电缆线体系的磁能

磁感应强度

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2\pi r} \end{equation*}

磁能密度为

\begin{equation*} w_m=\frac{B^2}{2\mu_0} \end{equation*}

长为\(l\)的一段电缆线的自感磁能

\begin{equation*} W_m=\int w_m \mathrm dV=\frac{\mu_0I^2}{8\pi^2}\int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r^2}2\pi r l\mathrm dr=\frac{\mu_0 }{4\pi }lI^2\ln\frac{R_2}{R_1}=\frac{1}{2}LI^2 \end{equation*}

参考资料

• 赵凯华《电磁学》
• 张三慧《电磁学》