我的电磁学讲义14：动生电动势和感生电动势

电动势

正如维持一个喷泉需要水泵，维持电路回路需要“电”泵——电源。

图1 持续喷泉需要水泵

在电源内部，正电荷从低电势区走向高电势区，即逆着电场的方向运动，因此需要补充额外的能量，使正电荷克服电场力做功。给载流子补充的能源，可能来自化学能，如电池，可能来自机械能，如水电站，可能来自太阳，如太阳能电池，可能来自温度差，如热电堆。

图2 电回路维持电流需要电动势

下面我们从功能转换的角度分析一下图2。在任意一个时间间隔\(\mathrm dt\)内，电量\(\mathrm dq\)通过任一截面，如\(aa'\)，同样多的电量进入电源低压端（负极），同时有同样多的电量离开高压端（正极），在此过程中电源做功\(\mathrm dA\)，电源对单位电荷做功\(\mathcal{E}\)即为电源的电动势：

\begin{equation*} \mathcal{E}=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dq} \end{equation*}

国际单位制中，电动势的单位为伏特。尽管电动势与电势或电压的单位一样，但电动势与电势或电压是完全不同的物理量。电动势与非静电力做功相联系，电势与静电力做功相联系。电动势完全取决于电源的性质，与外电路无关，而电势分布则与外电路的具体情况有关。

我们可以把非静电力看做一种场，场的强度用\(\vec{K}\)表示，在电源内，将\(q\) 的电量从电源负极送到正极，这种场做功

\begin{equation*} A=\int_{-}^{+}q\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}

对单位电量做的功即为电动势

\begin{equation*} \mathcal{E}=\frac{A}{q}=\int_{-}^{+}\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}

对于理想电源，非静电力对电荷做的功被电荷用来克服静电场力做功，因此有

\begin{equation*} \mathcal{E}=\int_{-}^{+}\vec{K}\cdot\mathrm d\vec{l} = \int_{-}^{+}\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=-U_{+-} \end{equation*}

其中，\(U_{+-}\)为电源端路电压。

在回路里，电源将能量传给运动的电荷，然后电荷将能量传给其他元件，如使灯泡发光，使电动机做功，使电阻发热，等等。

根据楞次定律，当你使一个磁体靠近或远离一个线圈，线圈中产生感应电流，感应电流对磁体施加磁力，阻碍磁体的运动，要求你对磁体做正功。同时，线圈会生热，因为线圈有电阻。你施加给磁体的力做的功就最终转化成热（当然还有线圈辐射的电磁波，我们暂时略去这部分能量）。你使磁体运动的越快，你施加的力做功就越快，功转化成热的速率也越快。

动生电动势

图3 磁场中孤立导体棒

如图3，在均匀磁场\(\vec{B}\)中，导体棒以速度\(\vec{v}\)运动，导体棒内的带电粒子\(q\)受到洛伦兹力\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\)，大小为\(F=qvB\)。洛伦兹力使导体棒内的自由电荷向棒的端点移动，同时等量相反的电荷出现在棒的另一端，最后在棒内产生一个电场\(\vec{E}\)。当电荷受到的电场力和洛伦兹力平衡的时候，\(qE=qvB\)，棒的两端就停止聚集电荷。最后棒两端的电势差为

\begin{equation*} U_{ab}=EL=vBL \end{equation*}

图4 导体棒沿着导体滑轨滑动

如果导体棒沿着导体滑轨滑动，构成回路，如图4所示。滑动导体棒两端的电荷会沿着回路重新分布，从高电势的地方走向低电势的地方，如此便在回路里形成电流。滑动的导体棒便是电源，在导体棒内正电荷从低电势的地方走向高电势的地方，非静电力就是导体棒内的电荷受到的洛伦兹力，相应的电动势称为动生电动势，

\begin{equation*} \mathcal{E}=vBL \end{equation*}

如果导体棒顺着磁场方向运动的导体棒内电荷受到洛伦兹力为0，此时导体棒上不会产生动生电动势，如果导体棒速度或速度分量垂直磁感应线运动，则会产生动生电动势，因此，有时形象地说“导体切割磁感线时产生动生电动势”。

前面讨论的只是特殊情况（直导体棒，匀强磁场，导体棒垂直磁场平移），对于一般情况，磁场未必是匀强磁场，导体形状也可能不规则，导体运动或形变时，导体上各处可能速度各异，这时导体内产生的动生电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

如果产生动生电动势的导体是闭合的线圈，动生电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=\oint \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}

以上表达式看起来与法拉第定律\(\mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\)相差很远，其实是等价。

例1 长度为\(L\)的导体棒，一端固定，导体棒以角速度\(\omega\)旋转，均匀磁场垂直于旋转平面，求导体棒产生的动生电动势。

图5 在均匀磁场中旋转的导体棒

导体棒上产生的动生电动势为：

\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{l} = \int vB\mathrm dl=\int_0^L B\omega l\mathrm dl=\frac{1}{2}B\omega L^2 \end{equation*}

方向是从固定端指向自由端，所以固定端电势比自由端电势低。

也可以根据法拉第定律求解。在\(\mathrm dt\)时间内，导体棒转过角度为\(\mathrm d\theta=\omega \mathrm dt\)，扫过的面积为

\begin{equation*} \mathrm dS=\frac{1}{2}L^2\mathrm d\theta = \frac{1}{2}L^2\omega \mathrm dt \end{equation*}

穿过该面积的磁通量为

\begin{equation*} \mathrm d\Phi=B\mathrm dS = \frac{1}{2}BL^2\omega \mathrm dt \end{equation*}

由法拉第定律，感应电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=\Big|\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}\Big|=\frac{1}{2}BL^2\omega \end{equation*}

由楞次定律可判断出感应电动势的方向。

例2 导体棒沿无限长载流直导线运动，求导体棒上产生的动生电动势。

图6 导体棒沿无限长载流直导线运动

设无限长载流直导线中电流为\(I\)，按如图6建立坐标系，导体棒\(x\)处长度\(\mathrm dx\)的线元产生的动生电动势为：

\begin{equation*} \mathrm d\mathcal{E}=\left (\vec{v}\times \vec{B}\right ) \cdot \mathrm d\vec{x}=-vB\mathrm dx \end{equation*}

导体棒上产生的电动势为

\begin{equation*} \mathcal{E}=\int \mathrm d\mathcal{E}=-\int_d^{d+L} vB\mathrm dx=-\frac{\mu_0 Iv}{2\pi}\int_d^{d+L}\frac{\mathrm dx}{x}=\frac{\mu_0 Iv}{2\pi}\ln\frac{d}{d+L} \end{equation*}

电动势方向为总右指向左。

例3 交流发电机

感生电动势

图7 导体线圈套在通电螺线管外

如图7，通电螺线管外套一导体线圈，如果螺线管内的电流是随时间变化的，这导体线圈内会产生感应电动势，根据法拉第定律，

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-\mu_0 n S\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} \end{equation*}

那么导体线圈内的感应电动势是怎么来的？对应的非静电力是什么？显然不是洛伦兹力。导体内自由电荷作定向运动的非静电力只能是变化的磁场引起的。这种非静电力能对静止电荷有作用力, 麦克斯韦认为，这种力本质上是电场力，麦克斯韦把这种电场称为感应电场，或涡旋电场。麦克斯韦认为，即使不存在导体线圈，变化的磁场在其周围空间激发出感应电场，感应电场的电场线是闭合的，因此也称为涡旋电场, 显然感应电场是非保守场。

图8 涡旋电场

图7中导体线圈中产生的感应电动势称为感生电动势，如图8所示。感生电动势对应的非静电力是涡旋电场力，即

\begin{equation*} \mathcal{E}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=\oint \vec{E}_v\cdot\mathrm d\vec{l}=-\int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

	静电场	涡旋电场
场源	静止的电荷	变化的磁场
高斯定理	\(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=q_{内}/\varepsilon_0\)有源场	\(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{S}=0无源场\)
环路定理	\(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=0\)无旋场	\(\oint \vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=-\int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm d\vec{S}有旋场\)
电场线	起于正电荷，终于负电荷	闭合曲线
场力	\(\vec{F}=q\vec{E}\)	\(\vec{F}=q\vec{E}_v\)

参考资料

• Fundamentals of Physics, Extended 10th
• Young and Freedman, University Physics, 13th Ed
• 张三慧《电磁学》
• 赵凯华《电磁学》