我的电磁学讲义11：安培环路定理
前面我们用积分法计算了电流的磁场，即先算出电流元的磁场，然后把各电流元的磁场加起来，即得整个电流的磁场。计算方法如用积分法计算电荷体系的电场。在静电学部分，我们知道，对于具有一定对称性的带电体系，我们可以通过高斯定理，很方便地算出电场。对于具有一定对称性的电流分布，能否有类似的简便方法？
有，这就是安培环路定理。
对于电场，高斯定理将电场分布和电荷分布联系起来。磁场有没有这样的高斯定理呢？磁场有高斯定理，但是磁场的高斯定理却给不出磁场与电流分布的联系。磁场的环路定理能够给出磁场与电流分布的联系。
高斯定理是关于通量的，环路定理是关于环量的。磁感应强度的环量与电流分布有关。我们从最简单的长直导线电流开始考察。
长直导线电流的安培环路定理
长直导线通以电流\(I\)，距离导线\(r\)处磁感应强度为：
\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2\pi r} \end{equation*}
磁感线为以导线为中心的同心圆。\(\vec{B}\)沿着以导线为中心以\(r\)为半径的圆做线积分，积分方向与电流方向满足右手定则，如图1所示。\(\vec{B}\)沿此路径的环量为
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\oint B\mathrm dl = B \oint \mathrm dl = \mu_0I \end{equation*}
图1 \(\vec{B}\)沿圆周积分，积分方向与电流方向满足右手定则
如果积分方向与电流方向满足左手定则，如图2所示，则（\(\vec{B}\)的环量）积分结果为
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=-\oint B\mathrm dl = -B \oint \mathrm dl = -\mu_0I \end{equation*}
图2 \(\vec{B}\)沿圆周积分，积分方向与电流方向满足左手定则
如果积分路径不包围电流，如图3所示，\(ab\)为半径为\(r_1\)上的一段圆弧，\(cd\)为半径为\(r_2\)上的一段圆弧，在圆弧\(ab\)上各点处，\(B=B_1=\frac{\mu_0I}{2\pi r_1}\)，在圆弧\(cd\)上各点处，\(B=B_2=\frac{\mu_0I}{2\pi r_2}\)，在直线\(bc\)和\(da\)上各点，磁场方向与直线垂直。
图3 \(\vec{B}\)沿不包围电流的闭合路径的线积分
\(\vec{B}\) 沿图3中闭合路径线积分（\(\vec{B}\)的环量）
\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=&\int_a^b B_1\mathrm dl + 0\int_b^c\mathrm dl-\int_c^d B_2\mathrm dl+ 0\int_b^c\mathrm dl \\ =&\frac{\mu_0I}{2\pi r_1}r_1\theta-\frac{\mu_0I}{2\pi r_2}r_2\theta=0 \end{split} \end{equation*}
现在我们看一下更一般的路径。如果路径包围电流，如图4所示，\(\vec{B}\) 沿图4中闭合路径的环量为，
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\oint B\cos\phi \mathrm dl = \oint B r\mathrm d\theta = \oint \frac{\mu_0I}{2\pi r}r\mathrm d\theta =\mu_0I \end{equation*}
图4 \(\vec{B}\)沿包围电流的一般闭合路径的线积分
如果闭合路径不包围电流，如图5所示，\(\vec{B}\)的环量为0，
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}
图5 \(\vec{B}\)沿不包围电流的一般闭合路径的线积分
安培环路定理
我们以上只讨论了平面内的闭合路径，可以证明以上结论也适用于非平面内闭合路径。还可以证明更一般的情况，对于任意稳恒电流（不必是直导线中的电流），上述\(\vec{B}\) 的环量与电流的关系依然成立。根据叠加原理，当有若干个稳恒电流存在时，合磁场\(\vec{B}\)沿任意闭合路径的环量为
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\mu_0 \sum_{内}I_i \end{equation*}
式中$ \sum_{内}I_i$ 表示环路所包围的电流的代数和，这就是安培环路定理。
这里被“环路所包围的电流”指与环路所铰链在一起的电流。
电流的符号的规定，如果积分路径方向与电流方向满足右手定则，则电流为正，否则为负。
图6 电流回路与安培环路的铰链
如图6所示，安培环路\(L\)所包围的电流的代数和为\(I_1-I_2\)，\(I_3\)与安培环路没有铰链，\(I_4\)不在环路内。
图7 安培环路与2匝电流铰链
如图7所示，安培环路\(L\)与2匝电流铰链，因此所包围的电流为\(2I\)。
安培环路定理里的\(\vec{B}\)是所有电流产生的磁感应强度的矢量和，其中包括不被环路所包围的电流所产生的磁场的贡献，只不过它们对环量无贡献。
应用
安培环路定理可以用于计算具有一定对称性的电流分布的磁场分布。
例1 无限长直导线电流的磁场分布。
体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，则圆上各点磁感应强度\(\vec{B}\)大小相等，方向沿圆切线方向，于是根据安培环路定理，\(\vec{B}\)沿此圆周的环量为
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 I \end{equation*}
于是得
\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{equation*}
例2 无限长圆柱电流的磁场分布。设圆柱半径为\(R\)，总电流为\(I\)。
体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，圆半径为\(r\)，则圆上各点磁感应强度\(\vec{B}\)大小相等，方向沿圆切线方向。在导体之外，\(r\gt R\) 根据安培环路定理有
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 I \end{equation*}
于是得
\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{equation*}
图8 圆柱电流的安培环路
在导体之内，
\(r\lt R\) 根据安培环路定理有
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{Ir^2}{R^2} \end{equation*}
于是得
\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R} \end{equation*}
综合以上结果，磁场分布为：
\begin{equation*} B = \begin{cases} \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R}, & r \lt R \\ \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, & r \gt R \end{cases} \end{equation*}
图9 圆柱电流的磁场分布
例3 通电螺线管的磁场分布。设单位长度匝数为\(n\)，电流为\(I\)。
如果螺线管非常长（长度远大于截面大小），螺线管外部几乎没有磁场分布，管内磁场近似为匀强磁场，\(\vec{B}\)方向与轴线平行。做矩形闭合路径\(abcd\)，边\(ab\)和\(cd\)与轴线平行，边\(bc\)和\(da\)与轴线垂直。
图10 长螺线管安培回路
\(\vec{B}\)沿此路径的环量为
\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=&\int_a^b B\mathrm dl +\int_b^c B\mathrm dl +\int_c^d B\mathrm dl +\int_d^a B\mathrm dl \\ =& B\Delta l+0+0+0=\mu_0 In\Delta l \end{split} \end{equation*}
于是
\begin{equation*} B = \mu_0 nI \end{equation*}
对于长直密绕螺线管，管内为匀强磁场。
例4 密绕螺绕环的磁场分布。设匝数为\(N\)，电流为\(I\)。
根据对称性，磁感线是与环共轴的圆。根据安培环路定理，有
\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 NI \end{equation*}
于是，
\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} \end{equation*}
图11 螺绕环安培环路
如果螺绕环半径很小，则上式中\(r\)与环的平均半径相差不大，于是\(\frac{ N}{2\pi r}\approx n\)，环内
\begin{equation*} B = \mu_0 nI \end{equation*}
螺绕环内磁场可视为大小均匀的磁场。
由安培环路定理易知，螺绕环外磁场为0。
作业
习题 2-16，2-17
参考资料
- Young and Freedman University Physics, 13th Ed
- 张三慧《电磁学》
