我的电磁学讲义10：磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律

磁感应强度

为了描述电场的分布，我们引入电场强度矢量\(\vec{E}\)，同样，为了描述磁场的分布，我们也需要引入一个新的矢量，这个矢量就是磁感应强度\(\vec{B}\)。

两个电流元的磁相互作用力满足安培定律

\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=k\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2} \end{equation*}

在国际单位制中，\(\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\mathrm {N/A^2}\)。

元电流之间的安培力的表达式分成两项：

\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=I_2\mathrm d\vec{l}_2\times \mathrm d\vec{B} \end{equation*}

\begin{equation*} \mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}

把电流元\(I_2 \mathrm d\vec{l} \_2\)看做试探电流元，则\(\mathrm d \vec{B}\)则为电流元\(I_1\mathrm d\vec{l} \_1\)的磁场在电流元\(I_2\mathrm d\vec{l} \_2\)所在位置处的磁感应强度。

整个回路1对电流元\(I_2\mathrm d\vec{l}_2\)的作用力为

\begin{equation*} \begin{split} \mathrm d\vec{F}_{2}=&\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}I_2d\vec{l}_2\times\mathrm \oint_{L_1}\frac{ I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \\ =&I_2d\vec{l}_2\times \vec{B} \end{split} \end{equation*}

上式中

\begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}

即为闭合回路\(L_1\)的磁场在电流元\(I_2\mathrm d\vec{l}_2\)所在位置处的磁感应强度。

一个电流元在磁场中的受力

\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{2}=I_2d\vec{l}_2\times \vec{B} \end{equation*}

这里的\(\vec{B}\)可以是电流产生的磁场，也可以是磁铁产生的磁场，或其他任何来源产生的磁场。

力的大小为

\begin{equation*} d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}\sin\theta \end{equation*}

其中，\(\theta\)为试探电流元方向与磁场方向的夹角。当两个方向平行或反平行时，\(\theta =0,\pi\)，\(\mathrm dF_2=0\)，当二者垂直时，试探电流元受力最大，\(d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}\)，这样我们就可以确定空间任意一点磁感应强度的大小：

\begin{equation*} B=\frac{(d{F}_{2})_{max}}{I_2d{l}_2} \end{equation*}

磁场的方向由矢量叉乘的右手定则确定。

磁感应强度的单位为\(\mathrm{N/(A\cdot m)}\)，这个单位有个专门的名称特斯拉，用\(\mathrm T\)表示，

\begin{equation*} 1\mathrm T=1 \mathrm{N/(A\cdot m)} \end{equation*}

另外一个广泛使用的单位是高斯，用\(\mathrm {Gs}\)表示，

\begin{equation*} 1\mathrm T=1 \mathrm {Gs} \end{equation*}

\begin{equation*} 1 \mathrm {Gs} =10^{-4}\mathrm T \end{equation*}

磁感应线可用来可视化磁场。

毕奥-萨伐尔定律

电流元和闭合载流回路产生在空间任意一点产生的磁场

\begin{equation*} \mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \end{equation*}

此两式正是毕奥-萨伐尔定律。

课堂练习：判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小。

判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小

下面求解几种电流的磁场分布。

载流直导线的磁场

考虑一段直导线在场点\(P\) 处的磁感应强度。

载流直导线的磁场

根据毕奥-萨伐尔定律，任意电流元\(I\mathrm d\vec{l}\)产生的元磁场\(\mathrm d\vec{B}\)的方向一致（在点\(P\) 处的磁感应强度方向垂直纸面向里），因此总磁感应强度\(B\)的大小为\(\mathrm dB\)的代数和，

\begin{equation*} B=\int\mathrm dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{I\mathrm dl\sin\theta}{r^2} \end{equation*}

\(P\)点到导线距离为\(r_0\)，由图可知，

\begin{equation*} l=-r_0\cot\theta \end{equation*}

\begin{equation*} r=\frac{r_0}{\sin\theta} \end{equation*}

所以

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{\mathrm dl \sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}(\cos\theta_1-\cos\theta_2) \end{equation*}

若导线为无限长（\(r_0 \ll l\)），\(\theta_1=0\)，\(\theta_1=\pi\)，则

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0} \end{equation*}

即长载流导线周围的磁感应强度的大小与场点到导线的距离成反比。

长直导线周围的磁感应线是以导线为中心的同心圆，磁感应强度的方向由右手定则确定。

无限长载流导线的磁感应线

载流圆线圈轴线上的磁场

设圆线圈中心为\(O\)，半径为\(R\)，其上任意一点\(A\)处电流元在轴线上一点\(P\)处产生的磁场为\(\mathrm d\vec{B}\)，线圈上与\(A\)点对称的点\(A'\)在点\(P\)处产生的磁场为\(\mathrm d\vec{B}'\)，\(\mathrm d\vec{B}\)和\(\mathrm d\vec{B}'\)合成后沿\(OP\)方向，因此我们只需要计算电流元沿轴线方向的分量。对于整个圆线圈来说，在轴线上的磁场的总磁感应强度的方向沿轴线方向。

\begin{equation*} \begin{split} B=&\int \mathrm dB\cos\alpha=\frac{\mu_0I}{4\pi }\oint \frac{\mathrm dl}{r^2}\cos\alpha =\frac{\mu_0I}{4\pi r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha\oint \mathrm dl \\ =&\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha \end{split} \end{equation*}

又

\begin{equation*} \sin\alpha=\frac{r_0}{\sqrt{r_0^2+R^2}} \end{equation*}

\begin{equation*} \cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{r_0^2+R^2}} \end{equation*}

于是

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha=\frac{\mu_0IR^2}{2(r_0^2+R^2)^{3/2}} \end{equation*}

在圆心处，\(r_0=0\)

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2R} \end{equation*}

无限远处，\(r_0\gg R\)

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0IR^2}{2r_0^{3/2}} \end{equation*}

亥姆霍兹线圈的磁场

亥姆霍兹线圈（Helmholtz coil）是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。由于亥姆霍兹线圈具有开敞性质，很容易地可以将其它仪器置入或移出，也可以直接做视觉观察，所以，是物理实验常使用的器件。如下图是一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器。

一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器

下面我们讨论一下亥姆霍兹线圈中心轴线上的磁场。如下图所示，一对平行排列的相同的圆形线圈，通有同样的电流\(I\)，且回绕方向一致，线圈的半径为\(R\)，线圈相距\(a\)。

亥姆霍兹线圈

取线圈轴线上距离线圈等远处\(O\)点处为坐标原点，沿轴线建立\(O-x\)轴。则轴线上的磁场如下图所示。虚线为两线圈单独产生的磁场，实线为二者叠加之后的场。可以看出，当线圈间距\(a\)比较大时，\(O\)点处磁场为极小值，当线圈间距\(a\)比较小时，\(O\)点处磁场为极大值，因此当线圈间距\(a\)比较合适时，\(O\)点处接近均匀磁场。

亥姆霍兹线圈轴线上的磁场

设场点\(P\)的坐标为\(x\)，则两线圈产生的磁场分别为

\begin{equation*} \vec{B}_1=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\frac{1}{\left [R^2+(x+a/2)^2 \right ]^{3/2}}\vec{i} \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{B}_2=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\frac{1}{\left [R^2+(x-a/2)^2 \right ]^{3/2}}\vec{i} \end{equation*}

总磁场为

\begin{equation*} \vec{B}(x)=\vec{B}_1+\vec{B}_2=\frac{\mu_0 IR^2}{2}\left \{\frac{1}{\left [R^2+(x+a/2)^2 \right ]^{3/2}}+\frac{1}{\left [R^2+(x-a/2)^2 \right ]^{3/2}}\right \}\vec{i} \end{equation*}

将\(B(x)\)在\(x=0\)处做泰勒展开，

\begin{equation*} B(x)=B(0)+x\left( \frac{\mathrm dB(x)}{\mathrm dx} \right )_{x=0}+\frac{x^2}{2!}\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}+\frac{x^3}{3!}\left( \frac{\mathrm d^3B(x)}{\mathrm dx^3} \right )_{x=0}+\frac{x^4}{4!}\left( \frac{\mathrm d^4B(x)}{\mathrm dx^4} \right )_{x=0}+O(x^4) \end{equation*}

由于\(B(x)\)是偶函数，\(B(x)=B(-x)\)，故\(\left( \frac{\mathrm dB(x)}{\mathrm dx} \right )_{x=0}=0\)，\(\left( \frac{\mathrm d^3B(x)}{\mathrm dx^3} \right )_{x=0}=0\)，如果\(\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}=0\)，则

\begin{equation*} B(x)=B(0)+O(x^4) \end{equation*}

磁场最为均匀。

由\(\left( \frac{\mathrm d^2B(x)}{\mathrm dx^2} \right )_{x=0}=0\)，得

\begin{equation*} a=R \end{equation*}

即两线圈的距离等于其半径。下图为亥姆霍兹线圈的示意图。

亥姆霍兹线圈示意图

载流螺线管轴线上的磁场

螺线管是很细的导线密绕而成，因此可以把螺线管近似看成导体圆筒上套着许许多多圆电流。

通电螺线管可近似看成并排圆电流

沿轴线单位长度的圆电流的个数即为螺线管单位长度的匝数\(n\)，电流强度为\(I\)。设螺线管半径为\(R\)，总长度为\(L\)，取圆筒中点为原点\(O\)，圆筒轴线为\(x\)轴。长\(\mathrm dl\)内的电流在场点\(P\)处产生的磁感应强度为

\begin{equation*} \mathrm dB=\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl \end{equation*}

因

\begin{equation*} x-l=R\cot\beta \end{equation*}

于是有

\begin{equation*} \mathrm dl=\frac{R}{\sin^2\beta}\mathrm d\beta \end{equation*}

磁感应强度

\begin{equation*} \begin{split} B=&\int\mathrm dB=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl\\ =&\frac{\mu_0nI}{2}\int_{\beta_1}^{\beta_2}\sin\beta\mathrm d\beta=\frac{\mu_0nI}{2}(\cos\beta_1-\cos\beta_2) \end{split} \end{equation*}

其中，

\begin{equation*} \begin{cases} \cos\beta_1=&\frac{x+L/2}{\sqrt{R^2+(x+L/2)^2}}\\ \cos\beta_2=&\frac{L/2-x}{\sqrt{R^2+(L/2-x)^2}} \end{cases} \end{equation*}

对于无限长螺线管

\begin{equation*} B=\mu_0nI \end{equation*}

对于半无限长螺线管，端点处轴线上磁感应强度

\begin{equation*} B=\frac{\mu_0nI}{2} \end{equation*}

参考资料

• 赵凯华《电磁学》