理论物理极础5：能量

“老先生，你在火车头下找什么？”
莱尼超爱大个头蒸汽机车，经常和乔治去火车场看火车。
今天，他们发现一位老先生好像在找什么东西。
老先生问乔治：“拉火车的马在哪里？”
“火车跑不需要马，我来告诉你火车怎么跑的，你看这里，”乔治说着，指着火车头上一个地方，“那里是火箱，煤炭在其中燃烧，放出化学能，紧挨着火箱是锅炉，热将锅炉里的水加热，产生蒸汽。蒸汽压推动火箱里的活塞，即对活塞做功。活塞又推动这些杆，这些杆带动火车轮子转起来。”老先生与乔治握了握手，带着理解的微笑离开了。
莱尼一直站在边上听乔治讲解火车。莱尼带着崇拜，对乔治说：“乔治，你讲得真好，我都懂了，火箱，锅炉，活塞。只是有一个点我还没懂。”
“莱尼，还有什么不懂？”
“马在哪里？”

力和势能

大家都学过，能量有多种形式，如动能、势能、热能、化学能、核能、……，并且知道，能量的总量是守恒的。但是经典物理研究质点运动时候只有两种能量形式：动能和势能。导出能量守恒的最佳方法是直接跳到正式的数学公式，再后退一步，看看我们会得到什么。

最基础的原理我们可称之为势能原理，所有的力都可由势能函数\(V(\\{x\\})\)导出，如前面的章节一样，\(\\{x\\}\)代表体系\(N\)个质点的\(3N\)个坐标的集合，即构型空间。为了更清晰地展示势能原理，我们这里考虑最简单的情形，沿\(x\)轴运动的单个质点，所受外力为\(F(x)\)。根据势能原理，质点所受的力与势能\(V(x)\)的导数有关：
\begin{equation}
F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}
\label{eq:1}
\end{equation}
在一维情形下，势能原理其实就是势能的定义。对方程(\ref{eq:1})两边积分，就可得到势能：
\begin{equation}
V(x)=-\int F(x)dx
\label{eq:2}
\end{equation}

我们可以这样理解方程(\ref{eq:1})：力总是试图将质点推往势能更低的地方（注意方程中的负号）。另外，\(V(\{x\})\)越陡，力越大。总结为一句广告语：力推你下山（Force pushes you down the hill）。

势能本身是不守恒的。随着质点的运动，\(V(\{x\})\)要发生变化。守恒的量是势能与动能的总和。粗略地讲，随着质点滚下山（即质点向势能低处运动），质点速度越来越大。如果质点向山上滚，质点速度愈来愈小。有某种东西是守恒的。

动能\(T\)用速度\(v\)和质量\(m\)来定义，具体定义为：

\[T =\frac{1}{2}mv^2 \]

质点的总能量\(E\)为动能与势能的和：

\[E =\frac{1}{2}mv^2 + V(x) \]

随着质点沿\(x\)轴运动，两种形式的能量都发生变化，但是变化的方式是保持二者之和不变。下面我们来证明这一点。如果总能量\(E\)对时间的导数为零，则就证明总能量不随时间变化。

我们先计算动能的时间变化率。动能里，质量不变，速度的平方\(v^2\)会变化，\(v^2\)对时间的导数为：
\begin{equation}\frac{dv^2}{dt}=2v\frac{dv}{dt}=2v\dot{v}
\label{eq:3}
\end{equation}

练习1	证明方程(\ref{eq:3})

于是，动能对时间的导数为

\[\dot{T}=mv\dot{v}=mva \]

在上式中，速度对时间的导数代换为加速度。

下一步，我们计算势能的时间变化率。这里要注意到的关键点是，势能\(V(x)\)会随时间变化是因为\(x\)会随时间变化。势能对时间求导，得：

\[\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} \]

将\(\frac{dx}{dt}\)代换为速度\(v\)，有：

\[\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}v \]

（注意不要把\(V\)和\(v\)弄混。）

现在就可以计算总能量的时间变化率了：

\[\dot{E}=\dot{T}+\dot{V}=mva+\frac{dV}{dx}v \]

两项都有\(v\)，提取公因式，有：

\[\dot{E}=v\left (mva+\frac{dV}{dx}\right ) \]

注意看括号里边，势能与力有关系。由方程(\ref{eq:1})，有：

\[\dot{E}=v\left (mva-F(x)\right ) \]

由牛顿第二定律，\(F=ma\)，上式小括号中的项正好抵消，则\(\dot{E}=0\)，我们也就证明了能量守恒。

我们讨论多维情况之前，我们还需要讨论一点，动量为什么不守恒？在前面的章节里，我们证明过，对于孤立系统，牛顿第三定律意味着动量守恒。答案是，我们漏掉了系统里的一些事情，即对做一维运动的质点施加力的物体。比如，如果要研究的问题是引力场中下落的质点，引力是地球施加的。当质点下降时，它的动量是变化的，但是这一变化为地球运动微小变化所弥补。即把下落的物体和地球看成一个系统，动量还是守恒的。

高维运动

力的分量是势能的导数，但这不是力的定义。不从势能的导数来想象力学定律可能更自然些，但是自然并不运用这样的非保守力。

让我们思考问题比以前更抽象一点。构型空间（也即位置空间）的坐标称为\(x_i\)。这里的下标\(i\)不是标记质点的，也不是标记空间方向的，而是涵盖这一切。对于\(N\)个质点组成的系统，\(i\)有\(3N\)个值。我们先不管这怎么来的，只考虑\(i\)标记的一个抽象坐标系。

现在写下运动方程：

\begin{equation} m\_i\ddot{x}\_i=F\_i(\{x\}) \label{eq:4} \end{equation}

每个坐标都对应一个质量$m_i$和一个力的分量$F_i$。力的每个分量都依赖于所有位置$\\{x\\}$。

在上一节的一维情况，力是势能的负导数，见方程(\ref{eq:1})。这是势能的定义，但不是力要满足的特殊条件。对于高维情况，事情更复杂。一般情况下，不是所有的力\(F_i(\\{x\\})\)都是某个函数的\(V(\\{x\\})\)的导数。如果我们认为力的分量都可以描述为一个势能函数的（偏）导数，这会是一个全新的原理。

这个原理还真不是随便猜想的。这是物理学里最重要的原理之一的数学表达式：
对于任何系统，存在一个函数\(V(\\{x\\})\)，与力满足如下关系：
\begin{equation}
F_i(\{x\})=-\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i}
\label{eq:5}
\end{equation}

方程(\ref{eq:5})表示什么自然定律？你可能已经猜到，能量守恒。我们稍候予以说明，现在我们说明一下方程(\ref{eq:5})表达的的物理图像。

想象一下，函数\(V(\\{x\\})\)表示地形图，表示各点的高度。首先，方程(\ref{eq:5})中的负号表示力指向山下的方向，并且表示，越陡的地方力越大。比如，在等高线图上，沿着等高线没有力。力矢量与等高线垂直。

现在，我们开始导出能量守恒。把方程(\ref{eq:5})带入运动方程方程(\ref{eq:4})，有：

\begin{equation} m\_i\ddot{x}\_i=-\frac{\partial V(\\{x\\})}{\partial x_i} \label{eq:6} \end{equation}

方程(\ref{eq:6})两边都乘以相应的速度$\dot{x}\_i$，并对所有分量求和：

\begin{equation} \sum\_i m\_i\dot{x}\_i\ddot{x}\_i=-\sum\_i \dot{x}\_i\frac{\partial V(\\{x\\})}{\partial x_i} \label{eq:7} \end{equation}

我们下一步的处理技巧与一维情况是一样的。总的动能为各坐标对应的动能之和：

\[T=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x} \]

现在我们看看方程(\ref{eq:7})的两边分别是什么。先看左边：

\[\sum_i m_i\dot{x}\_i\ddot{x}\_i=\frac{dT}{dt} \]

再看右边：

\[-\sum_i \dot{x}\_i\frac{\partial V(\\{x\\})}{\partial x_i}=-\frac{dV}{dt} \]

因此方程(\ref{eq:7})可写为：
\begin{equation}\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}=0
\label{eq:8}
\end{equation}
与一维情况一模一样，方程(\ref{eq:8})表达的意思是，总能量对时间的导数为0，即能量守恒。

为了形象化地理解方程(\ref{eq:8})的含义，我们想象一个球在一片山地无摩擦滚动。球向低处滚动时，速度增大，球向高处滚动时，速度减小。方程(\ref{eq:8})告诉我们，球滚动过程中，动能和势能的总和保持不变。

你可能纳闷，自然界的力为什么总是单个函数的梯度（导数）？下一章，我们将从最小作用量原理，重新把经典力学总结为新的理论体系，这一新的理论体系的起点就是存在这样的势能函数。你又会问，为什么有个最低作用量原理？答案可追溯到量子力学和量子场论里力的起源，这些内容我们还谈不到。为什么用到量子场论？我们必须在某处放弃回答这样的问题，就接受好了。当然，我们也可以一直追寻下去。

练习2：考虑做二维运动的质点，两个坐标分别为\(x\)和\(y\)，质点的质量为\(m\)，势能函数为\(V=\frac{1}{2}k(x^2+y^2)\)。请写出运动方程。证明存在圆形轨道，并且各圆形轨道的周期都相同。证明能量守恒。

练习3：重新考虑练习2，但势能函数为\(V=\frac{k}{2(x^2+y^2)}\)，问还是否可能有圆形轨道？如果存在，这些圆形轨道的周期相同吗？总能量守恒吗？

在讨论最小作用量原理之前，我想列举一些物理中经常讨论的能量，并评述一下它们如何适用于能量守恒的物理图像。常见的能量有：

• 机械能
• 热能
• 化学能
• 原子能或核能
• 静电能
• 磁能
• 辐射能

一些能量形式（不是全部）之间的区别有点过时了。机械能常常指宏观物体的动能和势能，如行星和塔吊吊起的重物。机械能也常指引力势能。

热能藏身于气体或分子集合体里，也包括动能和势能，与机械能的差别是，热能涉及很多很多质点混沌运动，我们甚至无法细致刻画这些运动。化学能也很特别，储存于化学键中，是构成分子的的粒子的动能和势能之和。化学能更难以理解，因为需要用到量子力学，归根结底，化学能也是粒子的动能和势能。原子能或核能，可与化学能类似理解。

静电能是一种势能，与带电粒子之间的排斥力和吸引力有关。事实上，除了引力势能，静电能是日常经典世界最主要的势能。静电能是原子与分子里带电粒子之间的势能。

磁能有点复杂，是磁极之间作用力对应的势能。复杂之处在于磁体和带电粒子之间的作用力。带电粒子所受到的磁力与速度有关。我们后面还会讨论这个问题。

电磁辐射里也蕴藏着能量，这种能量形式多样，如太阳发的热、无线电波里的能量、激光，等。广义来讲，辐射能也是动能和势能之和，但不是质点或粒子的能量，而是场的能量。本书不讨论电磁能。