理论物理极础3：动力学

莱尼：“乔治，物体咋会运动起来？”
乔治：“因为物体受力，莱尼。”
莱尼：“物体咋会又不动了？”
乔治：“还是因为物体受力，莱尼。”

亚里士多德运动定律

亚里士多德生活在一个摩擦主导的世界。要使一个东西动起来，比如让一辆木轮车动起来，你需要推或拉，即你要对车施加力。你加的力越大，车跑得越快，停止用力，车很快就停下。亚里士多德因此得出一些错误的结论，因为不懂摩擦也是力。但是，用现代语言弄懂一下他的思想还是有价值的。如果亚里士多德懂微积分，他会提出这样的运动定律：

物体运动速度正比于其受到的合外力。

如果他还懂矢量方程，他会写出如下的公式：

\[\vec{F}=m\vec{v} \]

其中，\(\vec{F}\)为施加的力，对力的响应为速度矢量\(\vec{v}\)，此二者通过因子\(m\)相联系。\(m\)是描述物体抗拒运动的能力的特征量，如果力给定，物体的\(m\)越大，速度就越小。容易想象，这位古老的哲学家会把\(m\)定义为物体的质量。很明显，重的东西比轻的东西难以运动起来，方程里应该有物体的质量。

亚里士多德可能从来没滑过冰，否则他应该知道，让身体停下来与让身体动起来一样难。亚里士多德定律显然是错误的，但是它作为一个决定系统未来的运动方程的例子，还是值得研究的。我们这里考虑物体的大小不重要的情形，从现在开始，我们称物体为质点。

考虑一个质点在一个给定的力的作用下沿\(x\)轴方向做一维运动。这里一个给定的力的意思是我们知道任意时刻的力，即\(F(t)\)（这里没写矢量符号，因为一维问题，矢量符号有点多余）。因为速度是位置\(x\)对时间的导数，因此亚里士多德定律为如下形式：

\[\frac{dx(t)}{dt}=\frac{F(t)}{m} \]

解这个方程之前，我们将之与第1讲的决定论性定律比较一下。一个明显的差别是，亚里士多德的方程不是频闪的，即\(t\)和\(x\)都不是离散的，都是连续变化的，不是跳跃变化的。但是，二者也有相似之处。如果把时间分成大小为\(\Delta t\)的一系列时间间隔，导数让位于\(\frac{\Delta x}{\Delta t}\)，即方程变为

\[x(t+\Delta t)=x+\Delta t\frac{F(t)}{m} \]

换成语言就是，在时刻\(t\)，不管质点位于哪里，下个瞬时，它的位置按一定程度平移一下。如果力是大小和方向不变的恒力，比如沿\(x\)轴的正方向，每过一定时间步，质点就向前移动\(\Delta t\frac{F}{m}\)。亚里士多德运动定律显然是决定论性的。只要知道\(t=0\)时刻质点的位置\(x(0)\)（或记为\(x_0\)），我们就能轻松预言质点在未来任意时刻的位置。根据第1讲的判据，亚里士多德的运动定律是合法的。

我们再回到亚里士多德定律的精确形式：

\[\frac{dx(t)}{dt}=\frac{F(t)}{m} \]

含有未知函数导数的方程称为微分方程。上述方程为一阶微分方程，因为方程里只要函数的一阶导数。像这样的一阶微分方程比较容易求解，方法就是，两边积分，

\[\int \frac{dx(t)}{dt}dt=\int \frac{F(t)}{m}dt \]

方程的左边是导数的积分，根据微积分基本定理，方程左边的积分结果就是\(x(t)+C\)。

方程的右边是对某个函数的积分，也是可以解出来的。如果\(F\)是个常数，方程的右边就是

\[\int \frac{F}{m}dt=\frac{F}{m}t+C \]

方程两边都有常数\(C\)有点多余，只留一个就行，这样方程的解就是

\[x(t)=\frac{F}{m}t+C \]

如何确定常数\(C\)？通过初始条件！比如，如果在\(t=3\)这个时刻质点位于\(x=1\)处，把这些值带入上式，就有

\[1=\frac{F}{m}3+C \]

解出\(C\)，

\[C=1-3\frac{F}{m} \]

练习1：	如果给出力随时间的变化关系是：\(F(t)=t^2\)，并有初始条件：\(x(0)=\pi\)，根据亚里士多德定律求出任意时刻质点的位置\(x(t)\)。

我们已经看到，亚里士多德运动方程是决定论性的，那它可逆吗？在第1讲我们解释过可逆的含义，可逆意味着，把所有箭头都反过来，得到的新的定律也是决定论性的。当时间是连续变化的时候，类比箭头反转也是很容易的，把方程里的时间\(t\)都给加一个负号，这就是把未来与过去掉个个儿。把\(t\)都换成\(-t\)，意味着时间差也变号，即\(\Delta t\)变成\(-\Delta t\)，如果处理的是微分，\(dt\)变成\(-dt\)。我们再回到亚里士多德运动方程：

\[F(t)=m\frac{dx(t)}{dt} \]

然后改变时间的符号，

\[F(-t)=-m\frac{dx(t)}{dt} \]

左边是力，但这是\(-t\)时刻的力，不是\(t\)时刻的力。由于\(F(t)\)是个已知函数，那么\(F(-t)\)也是已知的。

方程的右边，我们把\(dt\)换成了\(-dt\)，改变了整个式子的符号，方程右边的负号也可以写到方程的左边，即如下形式：

\[F(-t)=-m\frac{dx(t)}{dt} \]

方程的含义很明显：运动方程的逆方程与原来的运动方程的形式完全一样，只是力与时间的函数关系不同。结论很明了：亚里士多德定律如果面向未来的运动方程是决定论性的，那面向过去的运动方程也是决定论性的。亚里士多德运动方程的问题不在于是否相容于经典物理的根本规则，而是在于方程本身就是错的。

有意思的是，亚里士多德方程还是有用的——不是作为基本定律，而是作为近似。摩擦力确实是存在的，并且在很多情况下，摩擦力的作用非常显著，如亚里士多德的直觉认识那样，停止施加力，物体就停止运动。摩擦力不是基本作用力，它是物体与巨多的很小很小的物体——原子与分子——作用的结果。这些原子和分子又小又多，无法追踪记录它们的位置，我们就把这些隐含的自由度平均一下，这就有了摩擦力。石头在泥浆里运动的时候，摩擦力就很显著，利用亚里士多德运动方程描述石头的运动就是一个很好的近似。但是此时力与速度的比例系数不是速度，而是黏滞系数。我们好像跑题了。

质量、加速度和力

亚里士多德的错误在于，他认为物体运动需要受到净外力的作用。正确的想法是，施加外力是为了克服另外的力——摩擦力。一个孤立物体在自由空间的运动不需要有力来维持。事实上，它停止运动才需要力。这就是惯性定律。力做的事情是改变物体的运动状态。如果物体在初始时刻是静止的，需要受力才能运动起来，如果物体在运动，需要受力才能停止运动。如果物体在沿某个特定方向运动，它需要力才能改变运动方向。所有这些例子都涉及到物体速度的改变，即加速度。

从经验中我们知道，某些物体比别的物体惯性更大，即需要更大的力来改变它们的速度。比如汽车比乒乓球的惯性大很多。表征物体惯性的测量量是质量。

牛顿运动定律涉及三个量：加速度、质量和力。加速度见第2讲。一个聪明的观测者，如果他懂点数学的话，通过监测物体位置的变化可以确定物体的加速度。质量是个新概念，由力与加速度来确定。目前为止，我们没有定义力。我们看起来还陷入逻辑循环，力是改变一定质量的物体的运动状态的能力，而质量又定义为阻止运动状态改变的能力。要打破这个循环，我们需要细致探究一下力的定义及其测量方法。

有很多测量力的精密仪器，但是弹簧秤这个老式的仪器就能达到我们的目的。弹簧秤里有一根弹簧和一个尺子，尺子测量弹簧被拉伸了多长。如图1所示。

弹簧秤里的弹簧有两个钩，要称量的物体挂在一个钩上，手拉另一个钩。

弹簧秤一个钩挂着某个物体A，手拉另一个钩，一直拉到指针指到尺子上一个分度，这定义为一个单位力，即我们对物体施加了一个单位的力。

对弹簧加大拉力，使弹簧秤的指针指到尺子上两个分度的地方，这就定义出两个单位的力。这样的定义假设弹簧指针指到1个分度和指到2个分度，弹簧的行为是一样的。我们又陷入了前面的逻辑循环。我们换个定义方法。我们用两个弹簧秤钩住同一个物体A，各用1个单位力拉这两个弹簧，这就是两个单位的力的定义。见图2。换言之，我们同时拉两个弹簧，每个弹簧的指针都指在1个分度处。如果要定义3个单位的力，就用上三个弹簧，每个弹簧的指针都指在1个分度处。以此类推。

在自由空间做这个实验，我们会发现，物体沿着钩被拉的方向上加速。定量上，加速度正比于力，加两个单位的力，物体加速度是加1个单位力时加速度的2倍，加3单位的力，物体加速度是加1个单位力时加速度的3倍，如此等等。

现在，我们改变物体A的惯性。我们挂上两个物体A，如图3所示。

现在我们发现，施加1个单位的力（即用一个弹簧秤钩住物体，把弹簧秤指针拉到1个分度处），物体的加速度是只挂1个物体时的一半。也就是说，惯性是原来的2倍。

这个实验还可以推广，给弹簧秤挂上3个物体，加速度是原来的1/3，如此等等。

我们可以做更多的实验，使用任意多的弹簧秤，挂上任意多的物体A。实验结果可以总结成一个公式，力等于质量乘以加速度，这就是牛顿第二定律，写为如下形式：
\begin{equation}\vec{F}=m\vec{a}\label{eq:newton}\end{equation}
这个方程还可以写为如下形式：

\begin{equation}\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt} \label{eq:newtona} \end{equation}

即**力等于质量乘以速度变化率**，没有力，速度就不变。

需要注意的是，这些方程都是矢量方程。力和加速度都是矢量，不仅有大小，还有方向。

单位

数学家可以说线段的长度是3。物理学家或工程师甚至普通人就会问：“3什么？3寸？3厘米？还是3光年？”

同样的，说质量是7或者12，也是没有用的信息。要使数字有意义，我们必须指明单位。

我们从长度的单位说起。

在巴黎一个地方放着一个白金棒^[1]，这条白金棒放在一个恒温的密闭容器内，并隔离任何可以影响其长度的因素。这条白金棒就是我们的长度单位，定为1米。

我们写这样一个式子：

\[[x]=[长度]=米=\mathrm m \]

此时不要管这个式子的样子，这个不是我们常见的方程，这个式子读作：x具有长度的单位，并且以米为单位。米可简记为m。

同样地，\(t\)具有时间的单位，并以秒为单位：

\[[t]=[时间]=秒=\mathrm s \]

秒可以由某个摆钟摆一个来回所用的时间来定义。秒可简记为s。

有了长度和时间的单位，我们可以构建速度和加速度的单位。速度是距离除以时间，因此速度的单位具有长度除以时间的单位，在我们的单位制中，单位为米每秒。

\[[v]=\left [\frac{长度}{时间}\right]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \]

加速度是速度的变化率，所以加速度的单位是速度每单位时间，也即长度每单位时间平方：

\[[a]=\left [\frac{长度}{时间}\frac{1}{时间}\right]=\left [\frac{长度}{时间^2}\right]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \]

质量的单位是千克，简记为kg，科学家专门弄了一块白金金属块作为质量的定义，这块白金块也存放在法国。因此有：

\[[质量]=[m]=\mathrm{kg} \]

现在我们考虑力的单位。可以把力的单位定义为某种金属做的特制弹簧，把它拉伸0.01m所用的力，或者类似的其他定义。事实上，我们不需要力的新定义，我们已经有了，即力的单位是使1kg的物体具有1\(m/s^2\)的加速度所需要的力。更佳的定义来自牛顿定律\(F=ma\)，很明显，力具有质量与加速度乘积的单位

\[[F]=[力]=[ma]=\left [\frac{质量\times 长度}{时间^2}\right]=\frac{\mathrm{kg}\quad\mathrm m}{\mathrm s^2} \]

这个力的单位有个专门的名字，牛顿，简记为\(N\)。牛顿是英国人，可能更喜欢英制单位，即磅，1磅大约是4.4 N。

解牛顿方程的一些简单例子

最简单的情况，质点不受力，把力为0带入运动方程(\ref{eq:newtona})：

\[m\frac{\vec{v}}{dt}=0 \]

或者用点标记对时间的导数

\[m\dot{\vec{v}}=0 \]

去掉因子\(m\)，方程写成分量形式:

\[\dot{v}\_x=0 \]

\[\dot{v}\_y=0 \]

\[\dot{v}\_z=0 \]

方程的解很简单，速度的各分量都为常数，即取初始值

\begin{equation} v\_x(t)=v\_x(0) \label{eq:vx} \end{equation}

其他各分量也同此。顺便说一下，这就是*牛顿第一定律*： > 不受外力作用的物体总保持匀速直线运动状态或静止状态

方程(\ref{eq:newton})和(\ref{eq:newtona})为牛顿第二定律：

物体所受外力与物体的质量和加速度满足如下关系：

\[F=ma \]

我们知道，速度是位置的导数，可以把方程(\ref{eq:vx})写成如下形式：

\[\dot{x}=v_x(0) \]

这是最简单的微分方程，方程的解（包括各个分量）：

\[x(t)=x_0+v_x(0)t \]

\[y(t)=y_0+v_y(0)t \]

\[z(t)=z_0+v_z(0)t \]

或写成矢量形式：

$$\vec{r}(t)=\vec{r}\_0+\vec{v}\_0t$$

再说个更复杂点的例子，物体受到恒力的作用。首先考虑恒力沿\(z\)轴方向，则\(z\)方向上物体运动方程为：

$$\dot{v}\_z=\frac{F\_z}{m}$$

练习2：积分上述方程。

我们得到的结果为：

\[v_z(t)=v_z(0)+\frac{F_z}{m}t \]

或者

\[\dot{z}(t)=v_z(0)+\frac{F_z}{m}t \]

解这个微分方程，得

\begin{equation} z(t)=z_0+v_z(0)t+\frac{1}{2}\frac{F_z}{m}t^2 \label{eq:zt} \end{equation}

|练习3：将上式微分，代入运动方程，证明该式满足运动方程| |--|

这个例子是我们所熟悉的。如果\(z\)表示物体距离地面的高度，\(\frac{F_z}{m}\)为物体受到地球引力而具有的加速度，\(\frac{F_z}{m}=-g\)，方程(\ref{eq:zt})描述一个物体自\(z_0\)高处以初速度\(v_z(0)\)下落的运动：

\begin{equation} z(t) = z_0 + v_z(0)t - \frac{1}{2}gt^2 \label{eq:fall} \end{equation}

我们再说一个谐振子的例子。把系统视为沿$x$轴运动的质点，质点受到一个指向原点的力，力为如下形式： $$F_x=-kx$$

负号表示不管在任何\(x\)地方，力总是把推向\(x=0\)处。因此，当\(x>0\)时，力是负的，反之，当\(x\)为负的时候，力是正的。运动方程为如下形式

\[\ddot{x}=-\frac{k}{m}x \]

令\(\omega^2=k/m\)，方程也即为：

\begin{equation} \ddot{x}=-\omega^2 x \label{eq:os} \end{equation}

|练习4：证明方程(\ref{eq:os})的解为$x(t)=A\cos \omega t + B \sin \omega t$，由初始时刻$t=0$的位置和速度来确定常数$A$和$B$。|| |--|--|

谐振子是个非常重要的系统，从摆钟的运动到光波的振荡的电磁场。谐振子值得深入研究。

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1. 现在采用的米的定义是由原子在量子能级间跃迁辐射的光的波长来定义的。这里拿巴黎米基准器说事，只是为了方便。 ↩︎