平衡二叉树
我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。
平衡二叉搜索树（Balanced Binary Tree）：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O（log（n）），大大降低了操作的时间复杂度。
红黑树，它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
AVL是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。
如何判断一棵树平衡二叉树？
1 判断是否是平衡二叉树 2 #include<stdio.h> 3 #include<stdlib.h> 4 typedef struct node { 5 struct node *lchild, *rchild; 6 char data; 7 }BiTNode, *BiTree; 8 typedef struct { 9 BiTree pNode; 10 int flag; 11 }StackNode; 12 void Create(BiTree *T) { 13 char ch; 14 scanf("%c", &ch); 15 if (ch == '#') 16 *T = NULL; 17 else { 18 *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); 19 if (*T == NULL) exit(-1); 20 (*T)->data = ch; 21 Create(&((*T)->lchild)); 22 Create(&((*T)->rchild)); 23 } 24 } 25 /*算法流程 26 递归计算二叉树的深度的时间复杂度是O（n） 27 先写出计算计算二叉树深度的代码。 28 后序遍历每个结点，判断左右深度的关系 29 设置全局变量标志位。 30 */ 31 /*判断二叉树是否是平衡树*/ 32 int Depth(BiTree T,bool *status,bool *flag) { 33 if(T == NULL) 34 return 0; 35 int left = Depth(T->lchild,status,flag); 36 int right = Depth(T->rchild,status,flag); 37 if(left - right > 1 || left - right < -1) { 38 *status = false;//某个结点不是平衡树，记录下来 39 if(*status == false)//可以用全局变量数组记录，然后遍历数组 40 *flag = false;//有false成员就不是平衡树。但可以用一个变量记录， 41 }//但是由于要遍历所有结点，会覆盖status，所有又加一个全局变量flag. 42 return left > right ? left + 1 : right + 1; 43 } 44 bool IsPingHeng(BiTree T) { 45 if(T == NULL) 46 return true; 47 bool status = true; 48 bool flag = true; 49 Depth(T,&status,&flag); 50 return flag ? true : false; 51 } 52 int main() { 53 BiTree T; 54 Create(&T); 55 bool haha,hehe; 56 bool status; 57 status = IsPingHeng(T); 58 if(status) 59 printf("平衡树\n"); 60 else 61 printf("不是平衡树\n"); 62 printf("二叉树的深度是: %d\n",Depth(T,&haha,&hehe)); 63 return 0; 64 }
