一个整型数组里除了一个或者两个或者三个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)

粗糙的给出了分析，最近比较累，以后会改进的。
题目中包括三个小的问题，由简单到复杂：
1，如果只有一个出现一次，考察到异或的性质，就是如果同一个数字和自己异或的活结果为零，那么循环遍历一遍数组，将数组中的元素全部做异或运算，那么出现两次的数字全部异或掉了，得到的结果就是只出现一次的那个数字。
2，如果有两个只出现一次的数字，设定为a,b。也是应用异或，但是数组元素全部异或的结果x=a^b，因为a,b是不相同的数字，因此x肯定不为0。对于x，从低位到高位开始，找到第一个bit位为1的位置设定为第m位，这个第m位的bit肯定来自a或者来自b，不可能同时a,b的第m位（从低到高位）都为1。这样，就可以根据这个第m位就可以把数组分为两个部分，一组为第m位为0，一组为第m位为1.这样，就把问题分解成了求两个数组中只出现一次的数字了。下面首先给这部分的程序和实例分析：
[cpp] view plaincopy
 
 
  1. <span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:14px;">#include<stdio.h>  
  2. int get_first_position(int num)  
  3. {//从低位开始找到第一个位1的bit位  
  4.     int index=1;  
  5.     int i=0;  
  6.     while(i<32)  
  7.     {  
  8.         if((num&(1<<i))==(1<<i))  
  9.             break;  
  10.         else  
  11.         {  
  12.             index++;  
  13.             i++;  
  14.         }  
  15.     }  
  16.     return index;  
  17. }  
  18. int is_bit_one(int num,int index)  
  19. {//判断给定的索引位置的bit位是否为1  
  20.     num=(num>>index);  
  21.     return num&1;  
  22. }  
  23. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)  
  24. {  
  25.     int exclusive_or_result=0;  
  26.     *num1=0;  
  27.     *num2=0;  
  28.     for(int i=0;i<n;i++)  
  29.         exclusive_or_result^=a[i];  
  30.     int index=get_first_position(exclusive_or_result);  
  31.     for(i=0;i<n;i++)  
  32.         if(is_bit_one(a[i],index))  
  33.             (*num1)^=a[i];  
  34.     for(i=0;i<n;i++)  
  35.         if(!is_bit_one(a[i],index))  
  36.             (*num2)^=a[i];  
  37. }  
  38. void main()  
  39. {  
  40.     int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5};  
  41.     int num1,num2;  
  42.     get_two_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2);  
  43.     printf("%d\t%d\n",num1,num2);  
  44. }</span>  

3，考虑给定数组中有三个单独出现一次的数字，这个会比有两个的稍微复杂。分步分析，设定这三个数为a,b,c:
（1）将数组中的数字全部异或，得到的结果x=a^b^c，但是x不是a，b，c中的其中一个，假设x=a，那么b^c=0说明b=c，与题目给定的条件矛盾。
(2)设定f(n)可以像2中的那样，从低位开始，找到第一个bit为1的位置，f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不为0，因为x^a,x^b,x^c本身就不为0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果不为0。因为f(x^a)^f(x^b)的结果中可能为0，也可能有两个bit为1。如果假设f(x^c)的结果bit为1的位置与f(x^a)^f(x^b)的其中一个重合，则f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果中只有1个bit为1，如果不重合的话那么有3个bit位为1。
(3)这便可以推断出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一个bit位为1。假设从低位到高位的第mbit位为1.那么可以得出结论x^a,x^b,x^c中有一个或者三个的第m位为1（不可能有两个，因为有两个的话，异或的结果就为0了）。
（4）证明，x^a,x^b,x^c中只有一个第m-bit位为1.假设他们的第m位都为1，那么x的第m位为0，但是x=a^b^c其第m位肯定为1，所以假设不成立。那么相反，假设x的第m位为1，a,b,c的第m位都为0，也不成立，因为x=a^b^c。所以综上所述x^a,x^b,x^c中只有一个第m位为1。那么这个问题就好办了。根据这个第m位找到第一个只出现一次的数字。然后剩下两个就是问题2所描述的问题。下面给出代码：
[cpp] view plaincopy
 
 
  1. #include<stdio.h>  
  2. int get_first_bit(int num)  
  3. {  
  4.     return num&~(num-1);  
  5. }  
  6. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)  
  7. {  
  8.     int result_code=0;  
  9.     for(int i=0;i<n;i++)  
  10.         result_code^=a[i];  
  11.     int diff=get_first_bit(result_code);  
  12.     *num1=0;  
  13.     *num2=0;  
  14.     for(i=0;i<n;i++)  
  15.     {  
  16.         if(a[i]&diff)  
  17.         {  
  18.             (*num1)^=a[i];  
  19.         }  
  20.         else  
  21.         {  
  22.             (*num2)^=a[i];  
  23.         }  
  24.     }  
  25. }  
  26. void get_three_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2,int *num3)  
  27. {  
  28.     int result_code=0;  
  29.     for(int i=0;i<n;i++)  
  30.         result_code^=a[i];  
  31.     int flag=0;  
  32.     for(i=0;i<n;i++)  
  33.         flag^=get_first_bit(result_code^a[i]);  
  34.     flag=get_first_bit(flag);  
  35.     *num1=0;  
  36.     for(i=0;i<n;i++)  
  37.     {  
  38.         if(get_first_bit(result_code^a[i])==flag)  
  39.         {  
  40.             (*num1)^=a[i];  
  41.         }  
  42.     }  
  43.     for(i=0;i<n;i++)  
  44.     {  
  45.         if(a[i]==(*num1))  
  46.         {  
  47.             int temp=a[i];  
  48.             a[i]=a[n-1];  
  49.             a[n-1]=temp;  
  50.             break;  
  51.         }  
  52.     }  
  53.     get_two_unique_num(a,n-1,num2,num3);  
  54. }  
  55. void main()  
  56. {  
  57.     int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5,7};  
  58.     int num1,num2,num3;  
  59.     get_three_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2,&num3);  
  60.     printf("%d\t%d\t%d\n",num1,num2,num3);  
  61. }  
posted @ 2015-05-01 09:15  码农@163  阅读(2742)  评论(0)  编辑  收藏  举报