poj 2533 Longest Ordered Subsequence 最长递增子序列

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题目链接：poj 2533 Longest Ordered Subsequence 最长递增子序列

使用$len[i]$表示序列中所有长度为$i$的递增子序列中最小的第$i$个数的值为$len[i]$。对于序列的第j个数$arr[j]$，在$len$中二分查找，找到最后一个小于$arr[j]$的数$len[k]$，如果$len[k]$是序列$len$中最后的一个数，那么在其尾部添加一个数$arr[j]$，否则另$len[k+1]=arr[j]$，直到遍历完$arr$。时间复杂度为O(nlogn)。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include  <vector>
#define     MAXN 1010
using namespace std;
int arr[MAXN];
int n;
int bs(vector<int> &arr,int num)
{
    int b = 0, e = arr.size()-1;
    int mid;
    while( b <= e )
    {
        mid = (b+e)/2;
        if( arr[mid] <= num )
        {
            b = mid+1;
        }
        else
        {
            e = mid-1;
        }
    }
    return b;
}
int solve()
{
    if( n == 0 )
    {
        return 0;
    }
    vector<int> len;
    len.push_back(arr[0]);
    for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
    {
        if( len[len.size()-1] < arr[i])
        {
            len.push_back(arr[i]);
        }
        else
        {
            len[bs(len, arr[i])] = arr[i];
        }
    }
    return len.size();
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    while( scanf("%d", &n) != EOF )
    {
        for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
        {
            scanf("%d", &arr[i]);
        }
        printf("%d\n", solve());
    }
}

同样还有一种$O(n^2)$的动态规划算法。使用$dp[i]$表示到第$i$个数最长的递增子序列的长度。每次用j从0到$i-1$遍历数组，如果发现arr[j]<arr[i]，则说明其长度可以加1，最终取最大的长度作为dp[i]，即：

 

\begin{equation}
dp[i] = min(dp[j])+1,(j<i,arr[j]<arr[i])
\end{equation} 

 

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define     MAXN 1010
using namespace std;
int dp[MAXN];
int arr[MAXN];
int n;
int solve()
{
    if( n == 0 )
    {
        return 0;
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1;
    int res = 1;
    for( int i = 1 ; i < n ; i++ )
    {
        int tmp = 0;
        for( int j = 0 ; j < i ; j++ )
        {
            if( arr[i] > arr[j] )
            {
                tmp = max(tmp, dp[j]);
            }
        }
        dp[i] = tmp+1;
        res = max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for( int i = 0 ; i < n ; i++ )
        {
            scanf("%d", &arr[i]);
        }
        printf("%d\n",solve()); 
    }
}