如何计算折半查找的平均查找长度?

首先，折半查找可以借助于一个二叉树来描述。

为了简化讨论，则把这棵树近似看成满二叉树，设二叉树的高度为h(h>1)

则，根据二叉树的性质，它有最大节点数，

则 (2是底数)。那么二叉树的第j层节点数为：2^(j-1),当最后一层也就是j=h

假定每个元素的查找概率相等，则，pi=1/n (pi为第i个节点的查找概率)

那么平均查找长度为 1/n *（1*2^0+2*2^1+3*2^2+……+j*2^(j-1)）

则经过化简计算，得平均查找长度为：(（n+1）/n ) *log2(n+1)-1 (其中对数中的2为底数：即log以2为底（n+1)的对数）

注 : 当n很大时 ，可近似为 log2(n+1)-1

 

例如：长度为10的折半查找判定树的具体生成过程：

都遵循这个规律，左孩子结点<根结点<右孩子结点

    （1）在长度为10的有序表中进行折半查找，不论查找哪个记录，都必须和中间记录进行比较，而中间记录为

（1+10）/2 =5  (注意要取整)   即判定数的的根结点为5，如图7-2（a）所示。

     （2）考虑判定树的左子树，即将查找区域调整到左半区，此时的查找区间为[1,4],那么中间值为（1+4）/2 =2 (注意要取整) ，所以做孩子根结点为2,如图7-2（b）所示。

     （3）考虑判定树的右子树，即将查找区域调整到右半区，此时的查找区间为[6,10],那么中间值为（6+10）/2 =8 (注意要取整) ，所以做孩子根结点为8,如图7-2（c）所示。

       (4)重复以上步骤，依次去确定左右孩子

 

 

 

 

 

1.折半查找是一棵二叉排序树，每个根结点的值都大于左子树的所有结点的值，小于右子树所有结点的值。

2.折半查找判定数中的结点都是查找成功的情况，将每个结点的空指针指向一个实际上不存在的结点————外结点，所有外界点都是查找不成功的情况，如图7-2（e）所示。如果有序表的长度为n,则外结点一定有n+1个

折半查找判定数中，某结点所在的层数就是即将要比较的次数，整个判定树代表的有序表的平均查找长度即为查找每个结点的比较次数之和除以有序表的 长度。

  例如：长度为10的有序表的平均查找长度为

   ASL=(1*1+2*2+3*4+4*3)/10=29/10;

 

折半查找判定数中，查找不成功的次数即为查找相应外结点与内结点的比较次数。整个判定树代表的有序表的平均查找长度。查找失败时的有序表的平均查找长度即为查找每个外结点的比较次数之和除以外结点的个数。

如图7-2（e）所示

   例如：查找失败时，。长度为10的有序表的平均查找长度为

 ASL=(3*5+4*6)/11=39/11;