数据结构的扩张

本章内容：

一　　动态顺序统计

二　　如何扩张数据结构

三　　区间树

 

一　　动态顺序统计

参照：红黑树

 

1.　　n个元素集合中的第 i 个顺序统计量就是简单地规定为该集合中的具有第 i 小关键字的元素。对于一个无序的集合可以在O(n)的时间内确定任何的顺序统计量。这里修改一下红黑树使得可以在O(lg n)时间内确定任何的顺序统计量。

2.　　顺序统计树：在原先红黑树的每个结点x加入属性size , 表示以x为根的子树的总结点数（包括x），定义哨兵大小为0，即T.nil.size = 0. 有等式：

　　x.size = x.left.size + x.right.size + 1

3.　　为了使关键字可以相同，定义一个元素的秩为在中序遍历树时输出的位置。

4.　　对具有给定秩的元素的检索，过程OS-SELECT返回一个指针，指向以x为根的子树中包含第 i 小关键字的结点，运行时间为O(lg n).

5.　　确定一个元素的秩，过程OS-RANK返回对T中序遍历对应的线性序中 x 的位置，运行时间O(lg n)

 

6.　　对子树规模的维护，因为加入了size属性，对原先红黑树的操作就要能够维护size属性。

　　以插入操作为例，红黑树的插入操作包括2个阶段。第一是从根开始沿树下降，将新结点插入作为某个已有结点的孩子；第二是沿树上升，做一些变色和旋转操作来保持红黑树的性质。

　　在第一阶段中，只要对由根至叶子的路径上遍历的每个点的size属性加 1 即可。

　　在第二阶段中，对红黑树结构的改变仅仅是由旋转所致，旋转次数至多为2。每次旋转会使2个结点的size属性失效。先看一下之前的左旋代码：

　　只需对其增加2行即可：

 

　　如图说明了这2行代码是如何实现的：

 

　　右旋的操作还有删除结点的操作具体做法类似。

 

二　　如何扩张数据结构（略）

 

三　　区间树 

 

1.　　闭区间为有序数对[t1, t2], 把区间表示为一个对象 i , i.low = t1 , i.high = t2 , 这样两个区间a 和 b肯定满足区间三分律：

　　a和b重合　　a在b的左边　　a在b的右边

2.　　区间树：是一种红黑树，每个结点x包含一个区间x.int , 支持一下操作：

INTERVAL-INSERT(T, x):将包含区间属性int 的元素x插入

INTERVAL-DELETE(T, x):删除元素x

INTERVAL-SEARCH(T, i):返回元素x的指针，并且x.int 与 i 重叠，若不存在返回T.nil.

 

例子：

 

　　如图是10个区间的集合，用中序遍历树会得到左端点从小到大的排列。每个结点包含区间属性x.int , 且x的关键字为x.int.low.此外每个结点x还包含一个值x.max，是以x为根的子树中所有int.max的最大值。

3.　　SEARCH操作：