数论（二）——数论函数

×Definition：定义在 上的函数 f : → A 都可以称作是数论函数,其中 A 可以是有加减乘运算的任意集合。

一些常见的数论函数：

，表示正整数n的正因子之和。

，表示正整数n的正因子个数。

×Definition：数论函数 f 叫作是积性函数,如果对任意两个互素的正整数 n 和 m,均有f(nm)=f(n)f(m)。

×Corollary：若则有

                                               

×Definition（卷积）：对于数论函数f和g， 它们的卷积表示成，卷积的结果是一个数论函数h， 且

×Theorem：数论函数的卷积满足交换律和结合律。

引入一个重要的数论函数其中， 而对  n ≥ 2 时

-若n是r个不同的素数之积， 则。

-否则，。

这个数论函数叫作莫比乌斯函数。

×Corollary：是积性函数。

                   ，其中表示这个条件是否成立。

×Theorem（莫比乌斯反演公式）：设两个数论函数 f 和 g,则下面两个命题是彼此等价的。

1、对于每个正整数n，。

2、对于每个正整数n，。

×Definition（欧拉函数）：对每个正整数n,以 φ(n) 表示 1 至 n 中与 n 互素的整数个数,称作欧拉函数。

×Theorem：φ是积性函数。

×Theorem：设 n ≥ 2,是正整数 n 的标准分解式,则。
×Corollary：

两个重要结论：

     

     

×Example：给出一个正整数 n,预处理出 1 到 n 的 μ、φ、σ、τ 函数的值。

×Solution：利用积性函数的性质,以及之前提到的线性筛法可以找到每个数的最小素因子,这个可以O(n)时间预处理。

{未完。。}