线性规划与网络流24题——03最小路径覆盖问题
1738:最小路径覆盖问题
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Description
给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V 中每个 顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶 点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少 的路径覆盖。 设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。 提示:设V={1,2,... ,n},构造网络G1=(V1,E1)如下:每条边的容量均为1。求网络G1的( x0 , y0 )最大流。 编程任务: 对于给定的有向无环图G,编程找出G的一个最小路径覆盖。
Input
由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图 G 的顶点数,m是G 的边数。接下来的m行,每行有2 个正整数i和j,表示一条有向边(i,j)。
Output
程序运行结束时,将最小路径覆盖输出到文件output.txt 中。从第1 行开始,每行输出 一条路径。文件的最后一行是最少路径数。
Sample Input
11 12 1 2 1 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 11 10 11
Sample Output
1 4 7 10 11 2 5 8 3 6 9 3
【问题分析】
有向无环图最小路径覆盖,可以转化成二分图最大匹配问题,从而用最大流解决。
【建模方法】
构造二分图,把原图每个顶点i拆分成二分图X,Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j),在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型,求网络最大流。
最小路径覆盖的条数,就是原图顶点数,减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找,就是一个路径上的点,输出所有路径即可。
【建模分析】
对于一个路径覆盖,有如下性质:
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外,从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点,一个是出发,一个是目标,建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案,都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0,那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边,那么路径覆盖数就减少一个,所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少,则应最大化匹配数,所以要求二分图的最大匹配。
注意,此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图,如果有环或是无向图,那么有可能求出的一些环覆盖,而不是路径覆盖。
如果是无向图,则是N-(match/2)
「代码」
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define maxn 200000 #define INF 1 << 30 using namespace std; struct E { int from, to, tab, next; }edge[maxn]; int head[maxn], dist[maxn], d[maxn], vis[maxn], m, n, ans, tot, s, t; void add_edge(int u, int v, int f) { tot++; edge[tot].from = u, edge[tot].to = v, edge[tot].tab = f, edge[tot].next = head[u], head[u] = tot; tot++; edge[tot].from = v, edge[tot].to = u, edge[tot].tab = 0, edge[tot].next = head[v], head[v] = tot; } int dfs(int x, int low) { int a; if (x == t) return low; for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) if (edge[i].tab > 0 && dist[edge[i].to] == dist[x] + 1 && (a= dfs(edge[i].to, min(low, edge[i].tab)))) { edge[i].tab -= a, edge[i^1].tab += a; return a; } return 0; } int bfs() { int l, r, k; memset(dist, 0xff, sizeof(dist)); d[0] = 0, d[1] = s; dist[s] = 0; l = 0, r = 1; while (l < r) { k = d[++l]; for (int i = head[k]; i != -1; i = edge[i].next) if (edge[i].tab > 0 && dist[edge[i].to] < 0) dist[edge[i].to] = dist[k] + 1, d[++r] = edge[i].to; } if (dist[t] > 0) return 1; else return 0; } void dinic() { ans = 0; while (bfs()) ans += dfs(0, INF); } void print(int k, int n) { vis[k] = 1; for (int i = head[k]; i != -1; i = edge[i].next) if(edge[i].tab == 0 && !vis[edge[i].to] && edge[i].to != s && edge[i].to != t) { printf(" %d", edge[i].to - n); print(edge[i].to - n, n); return; } } int main() { int x, y; scanf("%d%d", &n, &m); tot = -1; memset(head, 0xff, sizeof(head)); for (int i = 1; i <= n; i++) add_edge(0, i, 1); for (int i = 1; i <= n; i++) add_edge(i + n, 2 * n + 1, 1); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &x, &y); add_edge(x, y + n, 1); } s = 0, t = 2 * n + 1; dinic(); ans = n - ans; memset(vis, 0, sizeof(vis)); for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i]) { printf("%d", i); print(i, n); printf("\n"); } printf("%d\n", ans); return 0; }
I come, I see, I conquer!