线性规划 1

写到一半突然看到 dxm 的 2021 论文，所以也可以把这篇当作阅读随笔。当然两边的编排不是很一样，我可能之后会再看看那个。
写到最后突然看到 zxy 的 2016 论文，所以也可以把这篇当作阅读随笔。当然两边的编排不是很一样，我可能之后会再看看那个。

如果出现数学符号无法渲染的情况请多刷新几遍。

1 形式
2 求解
- 2.1 基础内容讨论
- 2.2 单纯形法
3 对偶法
4 例题

线性规划（ $\textbf{L}\text{inear} \textbf{ P}\text{rogramming}, \text{LP}$ ）是一类最优化问题，这类问题的约束条件和目标函数均是线性的。下文中将使用大量线性代数的语言。

一般地，我们使用斜粗体 $\bm{a}$ 记向量，用斜体 $a_i$ 表示 $\bm a$ 中第 $i$ 维的值。 $\bm a \ge \bm b$ 当且仅当 $\forall i,\ a_i \ge b_i$ 。记 $\mathbb R^n$ 表示 $n$ 维实向量组成的空间。

1 形式

首先介绍线性规划的标准形式。

$\text{定义 1}$ （线性规划的标准形式）

设 $A\in \mathbb R^{n\times m}, \bm b \in \mathbb R^n, \bm c\in \mathbb R^m$ 。以下问题被称作线性规划的标准形式：

$\begin{aligned} \max_{\bm x} & \quad \bm c^{\mathsf T} \bm x \\ \text{s.t.} & \quad A\bm x\le \bm b, \ \bm x \ge \bm 0 \end{aligned}$

需要优化的目标函数为 $\bm c^{\mathsf T} \bm x$ ，其对应的解为 $\bm x$ 。约束条件为 $A\bm x\le \bm b, \ \bm x \ge \bm 0$ 。我们将满足约束条件的解称作可行解，其全体称作可行域。可行解中满足最大化目标函数的解称作最优解 $\bm x^*$ ，此时目标函数的值称为此线性规划问题的值。习惯上一个线性规划问题的代号同样指代该问题的值。

所有线性规划问题都可以被表示为标准形式。同时，线性规划有一种松弛形式，其利于几何分析与施单纯形法求解。这时我们需要满足 $\bm b\ge \bm 0$ 。

我们可以发现， $\bm b - A\bm x = \bm x'$ 的解定满足 $\bm x' \ge \bm 0$ 。因此可以等价地将标准形改写成

\begin{aligned} max_{x} & c^{T} x \\ s.t. & [A I_{m}] [\begin{aligned} x \\ x & ^{'} \end{aligned}] = b, x, x^{'} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{\bm x} & \quad \bm c^{\mathsf T} \bm x \\ \text{s.t.} & \quad \left[A \ \ I_m \right] \left[\begin{aligned} \bm x& \\ \bm x&' \end{aligned}\right] = \bm b, \ \bm x, \bm x' \ge \bm 0 \end{aligned}$

随后可以通过适当地变号（ $b_i < 0\Rightarrow$ 第 $i$ 行变号）使得定满足 $\bm b \ge \bm 0$ 。因此有与标准形式等价的松弛形式：

$\text{定义 2}$ （线性规划的松弛形式）

$\begin{aligned} \max_{\bm x} & \quad \bm c^{\mathsf T} \bm x \\ \text{s.t.} & \quad A\bm x = \bm b, \ \bm x \ge \bm 0 \end{aligned}$

这样可以轻易地确定一组可行解，即 $\bm x = \bm 0, \bm x' = \bm b$ 。

基本形式就介绍到这里，接下来我们考虑如何求解线性规划问题。

2 求解

2.1 基础内容讨论

考虑 $A$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵， $\text{rank}(A) = m$ 。我们将 $A$ 中的列向量重新排序，以期得到更好的性质。具体地，我们提取 $A$ 中 $m$ 个线性无关的列向量组成一个方阵 $B$ ，将剩余的向量组成一个 $(n - m) \times m$ 的矩阵 $D$ 。 $A$ 可以被写作分块矩阵 $\left[B\ \ D\right]$ 的形式。我们称 $B$ 为一个基，其中的列向量称作基本列向量。

矩阵 $B$ 非奇异，因此 $A\bm x = \bm b$ 的一组解 $\bm x$ 的前 $m$ 个元素对应了 $B^{-1}\bm b$ ，其余元素为 $0$ 。我们称这样的 $\bm x$ 为 $A\bm x = \bm b$ 的一组基解，其元素 $x_i$ 称作基变量。可以发现基解的数量最多是 $C_n^m$ 个。满足 $\bm x \ge \bm 0$ 的解被称作基可行解。

此时有 $B\bm x_B = \bm b$ 。由于矩阵 $B$ 非奇异， $\bm x_B = B^{-1} \bm b$ 。此时若将 $\bm c$ 按 $B-D$ 分块为 $\bm c = [\bm c_B \ \ \bm c_D]$ ，目标函数值即为 $z = \bm c_B^{\mathsf T} B^{-1} \bm b$ 。

可以发现，可行域一定对应 $\mathbb R^m$ 内的一个凸集（或空集），且每个基可行解总对应这个凸集的一个角点。~~感性理解~~
同时，最优解一定对应着一个基可行解。

我们求解答案的算法可以首先确定一个角点，随后一步步转移到最优解对应的角点。这就是单纯形法。

2.2 单纯形法

总的来说，单纯形法分为三个部分，我们需要回答以下问题：

如何从一个角点转移到相邻的角点？
如何确定该转移到哪个角点？
什么时候才能停止转移？即，如何判断当前解是最优解？

假设当前的约束矩阵 $A = \left[B\ \ D\right]$ ，已经得到了一组基可行解 $\bm x_0 = \left[\begin{aligned} \bm x&_B \\ \bm x&_D \end{aligned}\right]$ 。 $\bm x_B$ 对应的一组基变量为 $\{x_i\}$ ，基本列向量为 $\{\bm a_i\}$ 。
由于 $B$ 非奇异，其定能表出任意 $m$ 大小的向量。从 $D$ 中取出一个向量 $\bm a_e$ ，则这个列向量可以由 $\{\bm a_i\}$ 的线性组合表出。即 $\exists \bm\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m)^{\mathsf T},\ \sum_{i=1}^m \lambda_ia_i = B\bm\lambda = \bm a_e$ 。我们令

μ = min_{x_{i} > 0, a_{i} \in B} \frac{x_{i}}{λ_{i}} l = \underset{x_{i} > 0, a_{i} \in B}{arg min} \frac{x_{i}}{λ_{i}}

$\mu = \min_{x_i > 0, \bm a_i \in B} \frac {x_i}{\lambda_i}\quad l = \mathop{\text{arg min}}_{x_i > 0, \bm a_i \in B} \frac {x_i}{\lambda_i}$

我们称 $x_l$ 为出基变量， $x_e$ 为入基变量；对应的列向量被称作出/入基向量。我们将使用所求值构造新解。

我们令 $\bm x' = \bm x - \mu \bm \lambda$ 为基 $B' = B / \{\bm a_l\} \cup \{\bm a_e\}$ 对应的一组解，其中 $\bm \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m, 0, \dots, -1, \dots, 0)^{\mathsf T}$ （ $-1$ 是入基变量的系数）。由于 $A\bm x' = A(\bm x - \mu \bm \lambda) = A\bm x - \mu (A \bm \lambda)$ ，且 $A\bm \lambda = \sum_{i=1}^m \lambda_i \bm a_i - \bm a_e = \bm 0$ ，因此 $\bm x'$ 为一组新的可行解。

但是问题又来了，该如何选择入基向量才能使得答案变化最大呢？

若现在的一组解是 $\bm x$ ，目标函数的值为 $f = \bm c_B^{\mathsf T} B^{-1} \bm b$ 。我们新选取的可行解是 $\bm x'$ ，其同样满足 $B \bm x'_B + D \bm x'_D = \bm b$ ，即 $\bm x'_B = B^{-1}(\bm b - D \bm x'_D)$ 。则新可行解

\begin{aligned} f^{'} & = c_{B}^{T} x_{B}^{'} + c_{D}^{T} x_{D}^{'} \\ = c_{B}^{T} B^{- 1} (b - D x_{D}^{'}) + c_{D}^{T} x_{D}^{'} \\ = f - (c_{B}^{T} B^{- 1} D - c_{D}^{T}) x_{D}^{'} \end{aligned}

$\begin{aligned} f' & = \bm c_B^{\mathsf T}\bm x'_B + \bm c_D^{\mathsf T} \bm x'_D \\ & = \bm c_B^{\mathsf T}B^{-1}(\bm b - D \bm x'_D) + \bm c_D^{\mathsf T} \bm x'_D \\ & = f - \left(\bm c_B^{\mathsf T}B^{-1}D - c_D^{\mathsf T}\right)\bm x'_D \end{aligned}$

我们现在只需要看两解的差值即可。

\begin{aligned} Δ f & = (c_{B}^{T} B^{- 1} D - c_{D}^{T}) x_{D}^{'} \\ = \sum_{i = m + 1}^{n} (c_{B}^{T} B^{- 1} a_{i} - c_{i}) x_{i}^{'} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta f & = \left(\bm c_B^{\mathsf T}B^{-1}D - c_D^{\mathsf T}\right)\bm x'_D \\ & = \sum_{i=m+1}^n (c_B^{\mathsf T}B^{-1} \bm a_i - c_i) x'_i \end{aligned}$

记 $z_i = c_B^{\mathsf T}B^{-1} \bm a_i$ 。能发现，选择一个非基变量 $x_i$ ，会让结果变化 $(z_i - c_i) x'_i$ 。 $x'_i > 0$ ，这时若有 $z_i - c_i < 0$ ，就能确定一个更优的解 $\bm x'$ 。我们希望每次选择的值是最优的，因此每次都选择 $x_k \text{ s.t. } k = \mathop{\text{arg max}}_i (z_i - c_i)$ 。

我们将 $z_i - c_i$ 称作判别数。选择新角点的关键是首先求出非基变量的判别数，从其中选取最小的负值，其对应的非基变量就是新的入基变量。

这也自然地导出了最优解：当一个角点处所有判别数均非负时，这个角点无法转移到更大的值处，因此其取得了最大值。

讲到这里，我们就能发现先前提到的松弛形式的意义了。松弛形式引入了数个人工变量 $\bm x'$ ，从而能快速构造出一组初始解，方便单纯形法求解。

我们还能发现，若原线性规划问题有解 $\bm x$ ，对于松弛形式，只有当 $\bm x' = \bm 0$ 时才能得到最优解。

有时可行域是无界的，这时可能取到一个无穷大的解，此时称该线性规划问题的解为无界解。由于在实际问题中不可能取到无穷大，因此无界解通常表明问题的形式有误。
在单纯形法中，无界解等价于 $\bm \lambda < \bm 0$ 。

关于单纯形法的复杂度，可以参阅以下两篇论文：

可以相信在绝大多数情况下，单纯形算法都可以处理 $10^3\sim 10^4$ 的数据。

只应用单纯形法有时无法解决问题，我们需要借助其他方法将问题转化。

3 对偶法

一个常用的方法是对偶。

3.1 对偶的基础应用

首先给出对偶问题的定义：

$\text{定义 3}$ （线性规划的对偶）

给出一个线性规划的如定义 $1$ 的标准形式，其称为原问题（下文称 $P, \textbf{P}\text{rimal}$ 或 $\text{LP}$ ）。以下问题则称为 $P$ 的对偶（下文称 $D, \textbf{D}\text{ual}$ 或 $P^*$ ）：

$\begin{aligned} \min_{\bm y} & \quad \bm b^{\mathsf T} \bm y \\ \text{s.t.}&\quad A^{\mathsf T}\bm y\ge \bm c, \bm y \ge\bm 0 \end{aligned}$

容易验证 $(P^*)^* = P$ 。因此一个线性规划标准形的对偶也是标准形。

$\textbf{例 1. }$ 写出一般图最大匹配对应的 $\text{LP}$ 形式，以及 $\text{LP}^*$ 。说明 $\text{LP}^*$ 的意义。

设图 $G = \{V, E\}$ 的关联矩阵 $M\in \mathbb F_2^{n\times m}$ 。令 $\bm x\in \mathbb F_2^{m}$ 表示取边集 $X\in E$ 函数（即 $\bm 1_{e\in X}$ ）。注意 $M$ 不是邻接矩阵。
考虑约束 $M\bm x \le \bm 1$ 。这表示 $\bm x$ 取到的边集同 $M$ 中每个点至多有一次邻接，即一个匹配。目标函数可以写作 $|X| = \bm 1 ^{\mathsf T} \bm x$ ，也就是最大匹配数。有标准形式

\begin{aligned} max_{x} & 1^{T} x \\ s.t. & M x \leq 1, x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{\bm x} & \quad \bm 1 ^{\mathsf T} \bm x\\ \text{s.t.} & \quad M\bm x \le \bm 1, \ \bm x \ge \bm 0 \end{aligned}$

带权图则可以将 $\bm 1$ 转化为 $\bm w$ 。

同样地，我们可以写出对偶

\begin{aligned} min_{y} & 1^{T} y \\ s.t. & M^{T} y \geq 1, y \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{\bm y} & \quad \bm 1 ^{\mathsf T} \bm y\\ \text{s.t.} & \quad M ^{\mathsf T}\bm y \ge \bm 1, \ \bm y \ge \bm 0 \end{aligned}$

这时 $\bm y \in \mathbb F_2^{n}$ 表示了取点集 $Y\in V$ 函数（即 $\bm 1_{u\in V}$ ）。此时约束表示了 $E$ 中每一条边都至少与 $Y$ 中一个顶点相邻，最小化目标函数即找到最小的满足条件的点集大小。
这使我们想到了点覆盖。可以发现，最大匹配的对偶问题是最小点覆盖问题。

3.2 对偶性

在上面的问题中，我们发现自变量的取值范围仅为整数。这比一般线性规划的要求高。如果线性规划问题中 $A, \bm x, \bm b$ 的元素都是整数，则我们称该问题为整数线性规划（ $\text{ILP}, \textbf{I}\text{nteger }\textbf{L}\text{inear }\textbf{P}\text{rogramming}$ ）。

需要注意的是，求解一般的整数线性规划问题是 $\text{NP-Hard}$ 问题。对于特殊问题，如二分图的匹配，最优解一定对应着一组整数解，因此可以视作普通线性规划求解。
具体地， $A\bm x = \bm b$ 的所有基本解均为整数向量当且仅当 $A$ 为一全幺模矩阵。因此当约束矩阵是全幺模矩阵时，整数线性规划可以与普通线性规划同方式求解。

对于对偶问题，有以下定理。

$\textbf{定理 1}$ （弱对偶性）

设线性规划的原问题和对偶如定义 $1,3$ 形式，记为 $P, D$ 。 $P$ 的值不大于 $D$ 的值。特别地，如果 $\bm x, \bm y$ 分别为 $P,D$ 的可行解，且满足 $\bm c^{\mathsf T} \bm x = \bm b^{\mathsf T} \bm y$ ，则 $\bm x, \bm y$ 分别为 $P,D$ 的最优解。

证明：

c^{T} x \leq y^{T} A x \leq y^{T} b = b^{T} y

$\bm c^{\mathsf T}\bm x \le \bm y^{\mathsf T} A \bm x \le \bm y^{\mathsf T} \bm b = \bm b^{\mathsf T} \bm y$

由这个可以引出一般图最大匹配不大于最小点覆盖。可以证明在二分图中最大匹配等于最小点覆盖，而这需要应用强对偶性。证明见此。

$\textbf{定理 2}$ （强对偶性）

设线性规划的原问题和对偶如定义 $1,3$ 形式，记为 $P, D$ 。下面的叙述有且仅有一个成立：

$P, D$ 均有最优解，且 $P = D$ 。

$P$ 有可行解， $D$ 无可行解，且 $P$ 的目标函数在约束条件下无界。

$D$ 有可行解， $P$ 无可行解，且 $D$ 的目标函数在约束条件下无界。

$P, D$ 均无可行解。

我们若想计算原问题的最优解，很多情况下就可以转化为计算对偶问题的最优解。

$\textbf{例 2.}$ 求解带权二分图最大权匹配。

我们设左右各 $n$ 个点的二分图 $G$ 的关联矩阵为 $M\in \mathbb F_2^{2n\times m}$ ，边权为 $\bm w\in \mathbb R_+^{m}$ 。我们需要找出一个完美匹配使得边集中包含的边权和最大。

仍然考虑 $\bm x$ 代表取边集函数。写出 $P$ ：

\begin{aligned} max_{x} & w^{T} x \\ s.t. & M x \leq 1, x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{\bm x} & \quad \bm w ^{\mathsf T} \bm x\\ \text{s.t.} & \quad M\bm x \le \bm 1, \ \bm x \ge \bm 0 \end{aligned}$

转对偶：

\begin{aligned} min_{y} & 1^{T} y \\ s.t. & M y \geq w, y \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{\bm y} & \quad \bm 1 ^{\mathsf T} \bm y\\ \text{s.t.} & \quad M\bm y \ge \bm w, \ \bm y \ge \bm 0 \end{aligned}$

容易发现这就是 KM 算法所模拟的过程，其最终也最小化了顶标和。因此应用 KM 算法即可。

3.3 流模型的应用

$\textbf{例 3.}$ 浅析最大费用循环流模型。

首先我们需要解决一个问题。假设题目信息被抽象为了一个线性规划问题，但是其要求并不只是各维满足 $\le$ ，还要求在特定维上满足 $=$ 。如何解决？

假设这一维描述为 $\bm a_i x_i = b_i$ 。则我们可以将其视为 $\bm a_i x_i \le b_i\ \land\ -\bm a_i x_i \le - b_i$ 。假设这两个限制对偶后对应的变量是 $y_1, y_2$ ，则我们需要最小化 $b_i(y_2 - y_1)$ 。虽然有限制 $\bm y \ge \bm 0$ ，但是可以发现 $y_2 - y_1$ 不一定 $\ge 0$ 。因此不拆开的限制对偶后对应的变量 $y$ 是没有限制的，其 $\in \mathbb R$ 。

同样的，如果原问题中存在 $\in \mathbb R$ 的变量，对偶后对应的限制就应当取等。

然后定义最大费用循环流模型：循环流是无源汇的流，满足每个节点流量守恒。给定一张流网络，容量为 $\{c_{i, j}\}$ ，费用为 $\{w_{i, j}\}$ 。求一个循环流 $f$ ，最大化 $\sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v}$ 。

最大费用循环流可以通过网络流的方式求解，具体看无源汇最大费用可行流。

问题写作线性规划形式即为

\begin{aligned} max_{f} & \sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v} \\ s.t. & \forall (u, v), f_{u, v} \leq c_{u, v} \\ \forall (u, v), f_{u, v} = f_{v, u} \\ \forall (u, v), f_{u, v} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{f} & \quad \sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v}\\ \text{s.t.} & \quad \forall(u, v), \ f_{u, v} \le c_{u,v} \\ & \quad \forall(u, v), \ f_{u, v} = f_{v, u} \\ & \quad \forall(u, v), \ f_{u, v} \ge 0 \end{aligned}$

转对偶。假设第一个限制条件对应的变量为 $d_{u,v}$ ，第二个限制条件对应的变量为 $y_{u,v}$ ，有

\begin{aligned} min_{d, y} & \sum_{(u, v)} d_{u, v} \times c_{u, v} \\ s.t. & \forall (u, v), d_{u, v} + y_{u, v} \geq w_{u, v} \\ \forall (u, v), d_{u, v} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{d, y} & \quad \sum_{(u, v)} d_{u,v} \times c_{u,v} \\ \text{s.t.} & \quad \forall(u, v), \ d_{u,v} + y_{u,v} \ge w_{u, v} \\ & \quad \forall(u, v), \ d_{u,v}\ge 0 \end{aligned}$

容易发现 $d_{u,v} = \max(0, w_{u, v} - y_{u,v})$ 时最优。因此最大费用循环流的目标就是最小化

\sum_{(u, v)} max (0, w_{u, v} - y_{u, v}) \times c_{u, v}

$\sum_{(u, v)} \max\left(0, w_{u, v} - y_{u,v}\right) \times c_{u,v}$

因此我们可以将一个问题转化为最小化上式，随后利用网络流求解。

$\textbf{例 4.}$ 浅析最小费用流模型。

给定一张流网络，容量为 $\{c_{i, j}\}$ ，费用为 $\{w_{i, j}\}$ ， $b_u$ 为 $u$ 点的流出量（出流量 $-$ 入流量 $=$ $b_u$ ）。求一个流 $f$ ，最小化 $\sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v}$ 。

\begin{aligned} min_{f} & \sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v} \\ s.t. & \forall (u, v), f_{u, v} \leq c_{u, v} \\ \forall u, \sum_{v} f_{v, u} - \sum_{v} f_{u, v} = - b_{u} \\ \forall (u, v), f_{u, v} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{f} & \quad \sum_{(u, v)} f_{u, v} \times w_{u, v}\\ \text{s.t.} & \quad \forall(u, v), \ f_{u, v} \le c_{u,v} \\ & \quad \forall u, \ \sum_{v} f_{v, u} - \sum_{v} f_{u, v} = - b_u \\ & \quad \forall(u, v), \ f_{u, v} \ge 0 \end{aligned}$

令 $d_{u,v}$ 为 $- f$ 的变量， $y_u$ 为需求变量。转对偶有

\begin{aligned} max_{d, y} & \sum_{u} - b_{u} y_{u} - \sum_{(u, v)} d_{u, v} c_{u, v} \\ s.t. & \forall (u, v), y_{v} - y_{u} - d_{u, v} \leq w_{u, v} \\ \forall (u, v), d_{u, v} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{d, y} & \quad \sum_{u} -b_u y_u - \sum_{(u, v)} d_{u, v} c_{u,v} \\ \text{s.t.} & \quad \forall(u, v), \ y_v - y_u - d_{u, v} \le w_{u, v} \\ & \quad \forall(u, v), \ d_{u,v}\ge 0 \end{aligned}$

也就是说我们需要 $y_v$ 个 $\sum_{w} f_{v, w} - \sum_{w} f_{w,v}$ ， $-y_u$ 个 $\sum_{v} f_{u,v} - \sum_{v} f_{v, u}$ ， $d_{u,v}$ 个 $-f_{u,v}$ 。

整理可得我们需要最小化

\sum_{u} b_{u} y_{u} + \sum_{(u, v)} c_{u, v} \times max (0, y_{v} - y_{u} - w_{u, v})

$\sum_{u} b_u y_u + \sum_{(u, v)} c_{u,v} \times \max(0, y_v - y_u - w_{u, v})$

这样遇到类似于最小化这类式子的题就可以采用单纯形法做了。

4 例题

[ZJOI2013] 防守战线

战线可以看作一个长度为 $n$ 的序列，现在需要在这个序列上建塔来防守敌兵，在序列第 $i$ 号位置上建一座塔有 $c_i$ 的花费，且一个位置可以建任意多的塔，费用累加计算。有 $m$ 个区间 $[l_1, r_1], [l_2, r_2], \dots , [l_m, r_m]$ ，在第 $i$ 个区间的范围内要建至少 $d_i$ 座塔。求最少花费。

$1\le n\le 1000, 1\le m\le 10000$ 。

考虑设 $\bm x$ 为塔数量的向量， $\bm c$ 为花费向量， $\bm d$ 为建塔数量向量。构造矩阵 $A$ 满足 $A_{i, j} = [l_i \le j \le r_i]$ 。注意到 $A$ 是全幺模矩阵，因此可以施单纯形法求解。

立即写出线性规划形式：

\begin{aligned} min_{x} & c^{T} x \\ s.t. & A x \geq d, x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{\bm x} & \quad \bm c^{\mathsf T} \bm x \\ \text{s.t.} & \quad A\bm x\ge \bm d, \ \bm x \ge \bm 0 \end{aligned}$

转对偶便于求解。

\begin{aligned} max_{y} & d^{T} y \\ s.t. & A^{T} y \leq c, y \geq 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \max_{\bm y} & \quad \bm d^{\mathsf T} \bm y \\ \text{s.t.} & \quad A^{\mathsf T}\bm y\le \bm c, \ \bm y \ge \bm 0 \end{aligned}$

直接做即可。

单纯形法

~~怎么和我上面讲的单纯形法实现不一样？~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
#define rep(i,s,t) for (register int i = (s), i##_ = (t) + 1; i < i##_; ++ i)
#define pre(i,s,t) for (register int i = (s), i##_ = (t) - 1; i > i##_; -- i)
const int inf = 1e9;
const double eps = 1e-9;
int n, m, l, r;

namespace Simp {
	const int N = 1e3 + 5, M = 1e4 + 5;

	double A[N][M], c[N], d[M], res;

	void pivot(int e, int l) {
		double t = A[l][e];
		c[l] /= A[l][e], t = A[l][e], A[l][e] = 1;
		rep(i,1,m) if (i != e) A[l][i] /= t;
		rep(i,1,n) if (i != l and fabs(A[i][e]) > eps) {
			c[i] -= A[i][e] * c[l];
			rep(p,1,m) if (p != e) A[i][p] -= A[i][e] * A[l][p];
			A[i][e] = -A[i][e] * A[l][e];
		} res += d[e] * c[l];
		rep(i,1,m) if (i != e) d[i] -= d[e] * A[l][i];
		d[e] = -d[e] * A[l][e];
	}

	double simplex() {
		int j, k;
		while (1) {
			double mn = inf; k = 0;
			for (j = 1; j <= m; ++ j) if (d[j] > eps) break;
			if (j > m) return res;
			rep(i,1,n) if (A[i][j] > eps and mn > c[i] / A[i][j])
				k = i, mn = c[i] / A[i][j];
			if (mn >= inf) return inf;
			pivot(j, k);
		} return res;
	}

	int calc() { return (int)(simplex() + 0.5); }
} // namespace Simplex_Method

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	rep(i,1,n) cin >> Simp::c[i];
	rep(i,1,m) {
		cin >> l >> r >> Simp::d[i];
		rep(j,l,r) Simp::A[j][i] = 1;
	} cout << Simp::calc() << '\n';
}

本题的另一种做法是应用最小费用流模型，将问题转化成最小费用最大流求解。

对建塔数作前缀和得到 $\{p_i\}$ ，得到线性规划模型

\begin{aligned} min_{x} & \sum_{i = 1}^{n} (c_{i} - c_{i - 1}) p_{i} \\ s.t. & p_{i + 1} - p_{i} \geq 0 \\ p_{r_{i}} - p_{l_{i} - 1} \geq d_{i} \end{aligned}

$\begin{aligned} \min_{\bm x} & \quad \sum_{i=1}^n (c_i - c_{i - 1}) p_i \\ \text{s.t.} & \quad p_{i + 1} - p_{i} \ge 0\\ & \quad p_{r_i} - p_{l_i - 1} \ge d_i \end{aligned}$

转化后面两个条件为 $p_{i} - p_{i + 1} \le 0,\ d_i - p_{r_i} + p_{l_i - 1} \le 0$ 。可以通过与 $0$ 取 $\max$ 约束取值范围。不难写出等价关系式

\sum_{v} p_{v} (c_{v} - c_{v + 1}) + \sum_{i} \infty \times max (0, p_{i} - p_{i + 1}) + \sum_{i} \infty \times max (0, d_{i} - p_{r_{i}} + p_{l_{i} - 1})

$\sum_{v}p_v (c_v - c_{v + 1}) + \sum_{i} \infty\times \max(0, p_i - p_{i + 1}) + \sum_{i} \infty \times \max(0, d_i - p_{r_i} + p_{l_i - 1})$

这就转化成最小费用流模型了。构图方式较明显。 $i + 1\to i$ 连 $(\infty, 0)$ 的边， $r\to l - 1$ 连 $(\infty, -d_i)$ 的边，源点向 $c_v - c_{v + 1} > 0$ 的点连 $(c_v - c_{v + 1}, 0)$ 的边， $c_v - c_{v + 1} < 0$ 的点向汇点连 $(c_{v + 1} - c_v, 0)$ 的边。最终费用取负值即可。