社论 22.10.4 同态计数 题解

Problem

同态计数

令 $\text{M}_ n(\mathbb{F}_ p)$ 表示模 $p$ 意义下全体 $n$ 阶矩阵的集合。

一个映射 $f:R\to R$ 称为同态，当且仅当 $$\forall X,Y\in R,f(X+Y) = f(X) + f(Y)\ \land \ f(X\times Y) = f(X) \times f(Y)$$

两个映射 $f,g$ 是不同的，当且仅当 $\exists\ x,f(x)\neq g(x)$。

给定 $n,p$，保证 $p$ 是素数。你需要计算出 $\text{M}_ n(\mathbb{F}_ p)$ 上同态映射的数量。答案对 $10^9+7$ 取模。

$n \le 1e7, p \le 10^9$。

$\text{M}_ 1(\mathbb{F}_ 7)$ 上的同态映射只有两种：$f(x) = x$ 与$f(x) = 0$。因此答案为 2。

Solution

首先我们根据一些基础的线代知识，对于一个可逆的矩阵 $C$，形如 $f_C(x) = C^{-1}XC$ 的映射定是同态映射。

证明

$f_C(XY) = C^{-1}XYC = C^{-1}XCC^{-1}YC = (C^{-1}XC)(C^{-1}YC) = f_C(X)f_C(Y)$
$f_C(X+Y)$ 平凡，证明从略。

随后我们有断言：所有同态要么是平凡同态 $f(X)=0$，要么是形如 $f_C$ 的映射。

题解对于这个断言的证明：

如果你懂很多代数

注意到 $\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 是单环，那么它上面的同态只能是平凡同态和同构，再注意到它是一个中心单代数，根据 Skolem-Noether 定理它的同构必然是内的。

如果你只懂微小的代数

我们当然只处理不平凡的同态，取 $\mathbb Z_p$上的 $n$ 维向量空间 $V$，取定一组基，把矩阵解释成线性算子。我们看 $P_i=f(E_{i,i})$ ，不难验证 $V=\bigoplus_i P_iV$ ，并且 Pi 是投影算子，于是 $\text{dim}P_iV=1$。设 $P_1V=<A1>$，$A_i=f(E_{i,1})A_1$，把 $A_i$ 们在基下的坐标取成列向量，再把列向量排成行构成一个矩阵 $A$， $A^{−1}$ 即为所求矩阵。

如果有人看到这里就已经会了那您nb。反正我是不会。

于是我们对“很多”的部分进行一个人话的转录。

第一句：$\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 是单环。
单环是没有非平凡理想的环。简单来说，从单环中任选一个元素 $r$，能满足对其中任意元素左/右乘 $r$ 得到结果还属于其自身的子群只有该单环本身。

第二句：单环上的同态只能是平凡同态或同构。
同态的定义是保持环上两个运算结构的映射。同构的定义是同态双射。
对于同态 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，由于这是一个自同态，因此若任意元素不在像空间或原像空间内就不满足同态性质了。因此这个同态是满射。由于这是单环上的同态，因此其对应运算保持矩阵乘法的结构，因此不存在两个不同的原像使得他们的像相同。因此这个同态是单射。
这也就证明了非平凡自同态是自同构。因此问题归约到所有非平凡自同构的形态问题。

第三句：$\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 是一个中心单代数。
$\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 是一个矩阵环，因此它是一个矩阵代数。矩阵代数的外推是中心单代数，因 此$\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 是一个中心单代数。

第四句：根据 Skolem-Noether 定理，断言成立。
Skolem-Noether 定理：域上的 $n\times n$ 矩阵代数上的自同构为内自同构。
由于第三句的证明，我们能断言 $\text{M}_n(\mathbb{F}_ p)$ 上的自同构为内自同构。
内自同构是以共轭方式给出的定义。群 $G$ 的一个自同构，如果是 $G$ 内的元素的共轭作用，便称为内自同构。由 $g\in G$ 的共轭作用给出的内自同构 $f_g(x) = gxg^{-1}$。取 $g = C^{-1}$ 得到 $f(X) = C^{-1}XC$。

由定义，有所有内自同构形如 $f_C$。由第二句的结论，有所有非平凡同态形如 $f_C$。
因此我们证明了断言。

对于“微小”的部分，不要去碰它。
某些人的心态已经被读明白这段话而搞崩了。

接下来我们只需要求不同的形如 $f_C$ 的同态的个数，取模后加上平凡同态就是答案。

注意到 $\forall \ X,C^{-1}XC = A^{-1}XA$。因此两边左乘 $A$ 右乘 $C^{-1}$ 得到 $\forall \ X,AC^{-1}X = XAC^{-1}$。因此 $AC^{-1}$ 与所有矩阵乘积可交换，此性质表明其只有对角线有相同元素，即其是一个纯量阵。因此 $A = \lambda C$。
因此 $f_A = f_C \Leftrightarrow A = \lambda C$。于是同态个数就是全体 $n$ 阶可逆矩阵 $GL_n$ 的个数除以系数种类 $(p-1)$。注意到矩阵可逆的充要条件是矩阵满秩。于是考虑求得满秩 $n\times n$ 矩阵的个数。
取 $\mathbb Z_p$ （模 $p$ 意义下整数集合）上的 $n$ 维向量空间 $V$。从中取矩阵第一行（可视作行向量） $a_1$，共有 $p^n-1$ 种取法（除去全零向量）。第二行可以取 $V \ \text{\\} \{a_1\}$ 中的所有向量，取法有 $p^n-p$ 种（除去全零向量和先前取出的向量能表出的 $p-1$ 个向量）。以此类推取完 $n$ 行，这部分的答案可写作 $\prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i)$。

因此最终答案即为

$$\frac{\prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i)}{p-1} + 1$$

code

#include <bits/stdc++.h>
int n, p, sq[10000007], mod = 1e9 + 7;

typedef long long ll; typedef __int128 lll;
struct FastMod { int m; ll b; void init(int _m) { m = _m; b = ((lll)1<<64) / m; } int operator() (ll a) {ll q = ((lll)a * b) >> 64; a -= q * m; if (a >= m) a -= m; return a; } } Mod;
int add(int a, int b) { return (a += b) >= mod ? a - mod : a; } int mul(int a, int b) { return Mod(1ll * a * b); } template <typename ...Args> int mul(int a, Args ...b) { return mul(a, mul(b...)); }

int qp(int a, int b = mod - 2) { 
    int ret = 1; 
    while (b) { 
        if (b & 1) ret = mul(ret, a); 
        a = mul(a, a); 
        b >>= 1; 
    } return ret; 
}

signed main() {
    std::cin >> p >> n; int ans = 1;
    sq[0] = 1; Mod.init(mod);
    for (int i = 1; i <= n; i++) sq[i] = mul(sq[i-1], p);
    for (int i = 0; i < n; i++) ans = mul(ans, sq[n] - sq[i] + mod);
    std::cout << add(mul(ans, qp(p-1)), 1);
}