闲话 23.3.31

闲话

今天拿到手机 第一件事：看春卷饭 b 站有无新歌
无
下午到酒店 发现阿b给推了一首歌
？？！！春卷饭新曲？？！！
光速开始循环
好听好听！！！！

前两分钟：经典的好听
2:00 - 2:17 经典间奏段 我在猜接什么
2:18 突然的吉他段 给我震惊到了
中间有时候突然幻听热异常 发现协助果然有胃弱（
但是唱词好快啊 感觉不太能等到饭的本家翻唱了

可能是 Mes 姐还没翻译完？或者是 pv 没改好？
但是今日推歌！！！
推歌：ディナーベル（Dinner Bell）- はるまきごはん feat.初音ミク

外面的专星送挺好的欸 拿铁的奶泡挺全的 也很热
不像家里

为什么说RGB灯带能驱鬼？
因为只有在亮度为0的情况下才会生成怪物。

杂题？

CF1792F

给出一个 $n$ 个顶点的无向完全图，你需要给图上的每条边染上红色或蓝色。

一个顶点的集合 $S$ 被称作是红色连接的，如果对于 $S$ 中每对顶点 $(v_1,v_2)$，都存在只通过红边和 $S$ 中顶点的路径。相仿地，一个顶点的集合 $S$ 被称作是蓝色连接的，如果对于 $S$ 中每对顶点 $(v_1,v_2)$，都存在只通过蓝边和 $S$ 中顶点的路径。

你需要以如下方式对图进行染色：

• 至少有一条红边，至少有一条蓝边。
• 对于每个大小不小于 $2$ 的顶点集 $S$（也即 $|S|\geqslant 2$），$S$ 或者是红色连接的，或者是蓝色连接的，但不能同时是红色和蓝色连接的。

计数染色方法，对 $998244353$ 取模。

$n\le 10^5$。

foreverlasting 老师说的好啊，由于红蓝两色等价，我们对 $n$ 要算的一定是 $f_n$，使得 $f_n$ 乘以二后加一些修正就是答案。我们知道不含边一定合法，所以考虑这修正就是减去全涂一种颜色的情况。所以首先猜测答案就是 $2f_n - 2$，根据样例可知 $f_3 = 4, f_4 = 26$。扔到 oeis 里我们发现了 A311，你计算一下会发现这就是 $f$。

所以为啥？

转化一下题意。我们设蓝色边和所有点组成了图 $G$，并钦定 $G$ 是联通的。记 $\overline G$ 是 $G$ 的补图。我们知道，题设的要求就是对 $\forall |H| \ge 2$ 是 $G$ 的点导出子图有 $H$ 和 $\overline H$ 不同时联通，称这样的 $G$ 是好的图。我们知道，对 $|G| = n$ 的图 $G$ 作好图能得到 $f_n$，考虑如何计算。

我们不用考虑对应的点集在 $\overline G$ 中不连通的 $H$，这部分平凡。然后我们只需要考虑每个 $\overline G$ 中的联通块，如果这些联通块对应的点集都组成了好的图，则 $G$ 就是好的图。这是有标号组合的形式，我们记好图的有标号类为 $\mathcal A$，可以知道

$$\mathcal A = \text{SET}_{\ge 2} (\mathcal A) + \mathcal Z$$

翻译就是

$$A(z) = \exp A(z) - A(z) - 1 + z$$

查 oeis 可以发现 A311 的 egf 是 exp A(x) = 2*A(x) - x + 1，这两个形式是相符的。

到了这一步，下面的推导就是所谓的“标准处理方法”了。

一种直接的做法是采用牛顿迭代，我们设辅助函数 $F(x) = \exp x - 2x - 1 + z$，这样求导能得到 $F'(x) = \exp x - 2$，直接作即可。总时间复杂度 $O(n\log n)$。Submission.

另一种易于发现的方式是拉格朗日反演。这形式就是 $2A(z) + 1 - \exp A(z) = z$，我们很容易发现 $A^{\langle -1 \rangle}(x) = 2x + 1 - \exp x$，显然这个的最低次项在 $x^1$ 处取得。听说有人不会推这个咋算？

$$\begin{aligned} \left[x^n /n!\right] A(x) = n![x^n]A(x) = n! \frac{1}{n} [x^{n - 1}] \left(\frac{1}{A^{\langle -1 \rangle}(x)}\right)^n = \left[\frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}\right] \left(\frac{A^{\langle -1 \rangle}(x)}{x}\right)^{- n} \end{aligned}$$

这个推导也可以告诉我们拉反在 egf 上的应用形式。不如先拆占位元推的简单
Submission.

当然总起来看，在这题所需的信息上还是牛顿迭代法更高效，因为这做法可以一次算出前 $n$ 项结果。
另一些拉格朗日反演易于处理的信息可以看这篇博客的第一题。

所以原题为什么要用 $O(n\sqrt{n\log n})$ 的算法作 std 呢？