闲话 23.3.29

闲话

好 今天题目到现在才改完
T1 是个 dp 不动转贪心题
T2 是提交答案的构造 但可以随机化半小时出解

所以今天真的放了 INTERNET YAMERO
感觉机房的喇叭放出来就很有感觉呢（
确实好听（

所以今天闲话先水一下！

模拟赛：$\text{happyguy round}$

\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/\$\text{h}\color{red}{\text{appyguy}}$/

T3

若一个长度为 $n$ 的合法串中 0 的个数为 $a$，则我们知道这串对答案的贡献是 $\frac{n}{\text{gcd}(a, n)}$：若 $\gcd(a, n - a) = 1$，则由于循环位移产生的 $n$ 个新串总是不同的；反之串一定是由 $\gcd(a, n - a)$ 个相同子串拼成的，这可以由归纳法的思想看出。

打表可以发现，若原串中全是 ?，则答案为 $\sum_{i} \frac{n}{\gcd(i, n)}$。我们希望证明的是，对含有相同个数的 0 的所有串来说，合法串在循环同构意义下是唯一的。

设确定的合法串中 0 的个数为 $a$，1 的个数为 $n - a$。我们首先将 $n$ 除以 $\gcd(n, a)$，这样我们只讨论一个循环节，并保证 $\gcd(n, a) = 1$。对一个串，考虑将 0 赋 $n - a$ 的权值，1 赋 $-a$ 的权值。设单个子串的权值是其中字符权值之和。对整个串来说，权值是 $(n - a) a - a (n - a) = 0$，并且对任意长度为 $l$ 的子串，子串权值的和都为 $0$。然后考虑单个子串的权值。

由于我们只讨论合法串，因此这 $n$ 个长度为 $l$ 的循环子串中 0 的个数差值为 $1$。设 0 的个数只有 $k$ 和 $k+1$ 两种可能，并设含有 $k + 1$ 个 0 的子串数是 $p$。

首先考虑 $p = 0$ 的情况，我们知道这时权值为 $(n - a) k - a (l - k) = nk - al$。这值显然为 $0$，因为括号里两个都是 0 的总贡献次数。
反之我们知道 0 的贡献次数为 $p(k + 1) + (n - p) k = al$，也就是 $nk - al = -p$。由于 $p\in [1, n)$，则 $nk - al \in (-n, -1]$。这样两种子串的权值要么是 $nk - al \in (-n, -1]$，要么是 $n(k + 1) - al \in (0, n - 1]$。

因此我们知道，任意合法串的子串的权值 $\in (-n, n)$。

我们设 $q(i)$ 为合法串前 $i$ 个字符的权值之和，则合法串的子串 $[l, r]$ 的权值就是 $q(r) - q(l - 1)$。因此任意合法串的子串的权值就是 $\in (-n, n)$ 等价于 $\forall l, r, \ q(r) - q(l - 1) < n$，即前缀和的极差 $< n$。

我们枚举极差对应的前缀和数组的值域，设是 $[x, x + n)$。可以知道，这样的范围总能唯一地对应一个前缀和数组，进而根据双射唯一地对应一个串。这也证明了上面的唯一性。数组可以贪心地构造，由于前一位加上 $n - a$ 和 $-a$ 总只有其中一个结果在范围内。因此只需要枚举 $x$，每次重新得到一个字符串，考虑这个串有多少个循环移位可以和给定的串完全匹配。
这是经典问题，可以用多项式优化到 $O(n\log n)$ 单次，总 $O(n^2 \log n)$。

进一步考虑性质，我们不妨先构造 $x = 0$，随后考虑 $x \leftarrow x - 1$ 的过程。对每个位置 $p$ 而言，其前缀和在模 $n$ 意义下是 $-ip$。由于 $\gcd(n, i) = 1$，$-ip$ 取遍 $[0, n)$ 的每个值。这样我们在移动时，每次只会有前缀和最大（即为 $x + n - 1$）的位置变成前缀和最低（即为 $x - 1$）的位置，剩下的前缀和值相对大小不变。投射到差分上，也就是这个位置和下一个位置的 01 性取反。所以我们只需要每次翻转 $O(1)$ 个位置，并维护是否存在匹配。
这自然可以 $O(n)$ 单次，总 $O(n^2)$。