闲话
今天放了 Killer Queen。
当时听到时感觉听过了
然后回头去黑板上找 找到了
突然想到为啥听过
看 JOJO4 时听的（
今日推歌：一点一点 - 阿良良木健 feat. 洛天依
好听的！而且听多了有些洗脑（
并 虽然是为了体现曲子内核 但还是想吐槽
阿良良老师画画真不羁（
\(\text{q-analog}\)
可能写得散了点。
\(\text{q-analog}\)（\(\text{q-}\)模拟）。具体的，在某些时候，我们需要一个对象 \(z\) 的性质在更多情况下的推广，这时可以构造一个表达式 \(f(q)\) 来引入新参数 \(q\)，使得
\[\lim_{q\to 1} f(q) = z
\]
我们称这样的表达式为对象 \(z\) 的 \(\text{q-}\)模拟。下面定义的都是经典的 \(\text{q-}\)模拟，可以看做以 \(q\) 为变元的多项式。
对一个实数 \(r\) 的 \(\text{q-}\)模拟定义为
\[[r]_q = \dfrac{1 - q^r}{1 - q}
\]
这的正确性可以通过洛必达法则得到。当取非负整数 \(n\) 时，还可以得到
\[[n]_q = \sum_{k = 0}^{n - 1}q^k
\]
对阶乘 \(n!\) 的 \(\text{q-}\)模拟定义为
\[[n]_q! = \prod_{i = 1}^n [i]_q = \frac{\prod_{i = 1}^n (1 - q^i)}{(1 - q)^n}
\]
对二项式系数的 \(\text{q-}\)模拟（\(\text{q-binomial}\)）定义为
\[\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[m]_q! [n - m]_q!}
\]
多项式系数也可以类似地定义。我们同样可以证明任意 \(\text{q-binomial}\) 是整数，这要用到二项式系数整数性的 \(\text{q-}\)模拟。
对下降幂的 \(\text{q-}\)模拟定义为
\[[r]_q^{\underline k} = \frac{\prod_{i = 0}^{k - 1} (1 - q^{r - i})}{(1 - q)^k}
\]
因此我们可以定义上指标为实数的 \(\text{q-binomial}\) 如下：
\[\begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q = \left\{
\begin{aligned}
&\frac{(1 - q^{r})(1 - q^{r - 1})\dots(1 - q^{r - k + 1})}{(1 - q^{k})(1 - q^{k - 1})\dots(1 - q)} = \frac{[r]_q^{\underline{k}}}{[k]_q!},\quad &整数\ k\ge 0;
\\ &0,\quad &整数 \ k < 0.
\end{aligned}
\right.\]
上面式子对着具体数学 \((5.1)\) 打的。
下面是一些关于 \(\text{q-binomial}\) 的性质和推论。
\[\begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[r]_q}{[k]_q}{r - 1\brack k - 1}_q
\]
这是吸收恒等式的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.5)\)。移项后能自然得到 \((5.6), (5.7)\)。
\[\begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q = q^k\begin{bmatrix} r - 1 \\ k \end{bmatrix}_q + \begin{bmatrix} r - 1 \\ k - 1 \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} r - 1 \\ k \end{bmatrix}_q + q^{r - k}\begin{bmatrix} r - 1 \\ k - 1 \end{bmatrix}_q
\]
这是加法公式的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.8)\)。应用上面的公式能自然得到 \((5.8)\) 和 \((5.9)\) 之间夹着的那个公式。
\[\begin{bmatrix} r + n + 1 \\ n \end{bmatrix}_q = \sum_{k\le n} q^k \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q = \sum_{k\le n} q^{(r + 1)(n - k)} \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q
\]
这是平行求和法的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.9)\)。
\[\begin{bmatrix} n + 1 \\ m + 1 \end{bmatrix}_q = \sum_{0\le k\le n} q^{k - m}\begin{bmatrix} k \\ m \end{bmatrix}_q = \sum_{0\le k\le n} q^{(m + 1)(n - k)}\begin{bmatrix} k \\ m\end{bmatrix}_q
\]
这是上指标求和的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.10)\)。
\[\begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q = (-1)^kq^{kr - k(k - 1) / 2} \begin{bmatrix} k - r - 1 \\ k \end{bmatrix}_q
\]
这是上指标反转的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.14)\)。
\[\begin{bmatrix} r \\ m \end{bmatrix}_q \begin{bmatrix} m \\ k \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q \begin{bmatrix} r - k \\ m - k \end{bmatrix}_q
\]
这是 trinomial revision 的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.21)\)。
\[\begin{bmatrix} r + s \\ n \end{bmatrix}_q = \sum_k q^{(r - k)(n - k)} \begin{bmatrix} r \\ k \end{bmatrix}_q\begin{bmatrix} s \\ n - k \end{bmatrix}_q
\]
这是范德蒙德卷积的 \(\text{q-}\)模拟。\((5.24)\)。
\[\prod_{i = 0}^{n - 1} (1 + q^iz) = \sum_{i = 0}^n q^{i (i - 1) / 2} \begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}_q z^i
\]
这是二项式定理的 \(\text{q-}\)模拟，又称高斯二项式定理。这个也常用于定义更广义的 \(\text{q-binomial}\)。
我们可以从上面的公式中导出关于 \(\text{q-binomial}\) 的生成函数。
比方说，令 \(F_{r} (z)\) 为 \(\begin{bmatrix} r + n \\ n \end{bmatrix}_q\) 的生成函数，应用 \((5.9)\) 的 \(\text{q-}\)模拟可以得到
\[\begin{aligned}
F_{r + 1}(z) & = \sum_{n\ge 0} \begin{bmatrix} r + n + 1 \\ n \end{bmatrix}_q z^n
\\ & = \sum_{n\ge 0}\sum_{k\le n} q^k \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q z^n
\\ & = \sum_{k\ge 0} \sum_{n\ge 0}q^k \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q z^{k + n}
\\ & = \sum_{k\ge 0} \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q (qz)^k \sum_{n\ge 0}z^{n}
\\ & = \sum_{k\ge 0} \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_q (qz)^k \frac{z^k}{1 - z}
\\ & = \frac{1}{1 - z} F_{r}(qz)
\end{aligned}\]
也就是
\[\prod_{i = 0}^r\frac{1}{1 - q^i z} = \sum_{k\ge 0} \begin{bmatrix} r + k \\ k \end{bmatrix}_qz^k= \sum_{k\ge 0} \begin{bmatrix} r + k \\ r \end{bmatrix}_qz^k
\]
即
\[z^r\prod_{i = 0}^r\frac{1}{1 - q^i z} = \sum_{k\ge r} \begin{bmatrix} k \\ r \end{bmatrix}_qz^k
\]
这公式的应用可见本篇社论。
然后是一些应用。
首先是经典的排列逆序对。假设 \(\pi\) 枚举长度为 \(n\) 的排列，\(\tau(\pi)\) 表示 \(\pi\) 的逆序数，则我们可以证明
\[\sum_{\pi}q^{\tau(\pi)} = [n]_q!
\]
具体地，假设 \(f_i\) 表示前 \(i - 1\) 个元素和第 \(i\) 个元素形成的逆序对数，经典双射是 \(f\) 与 \(\pi\) 一一对应，自然导出了上式。
这也给出了计数长度为 \(n\) 的、逆序对数恰好为 \(k\) 的排列的方法。一种方法是 \(\text{ln-exp}\)，另一种方法是[我看不懂]。
这还可以推广到多重集排列。假设 \(\pi\) 枚举到任意长度为 \(n\) 的多重集排列，其中值 \(i\) 出现 \(a_i\) 次。令 \(\tau(\pi)\) 表示 \(\pi\) 中的逆序对数，则我们可以证明
\[\sum_{\pi}q^{\tau(\pi)} = \begin{bmatrix} n \\ a_1, a_2, \dots, a_n \end{bmatrix}_q
\]
然后是一些线性代数计数。下面称模 \(q\) 意义下的值组成的集合为 \(\mathbb F_q\)，以其为元素的 \(n\) 维向量的全体为 \(\mathbb F_q^n\)。
\(\mathbb F_q^n\) 内选 \(k\) 个有序向量使得他们彼此线性无关的方案数？
这个在这篇题解里有涉及到。运用相同的手法可以得到答案即为
\[\prod_{i = 0}^{k - 1} (q^n - q^i) = q^{k(k - 1) / 2} \prod_{i = n - k + 1}^{n} (q^i - 1) = q^{k(k - 1) / 2} \frac{(q - 1)^k [n]_q!}{[n - k]_q!}
\]
记它为 \([n : k]_q\)。
\(\mathbb F_q^n\) 内计数 \(k\) 维子空间数？
这个在这篇闲话里有涉及到。我们可以首先选出 \(k\) 个有序向量，当作这 \(k\) 维子空间的基。可以发现每组向量会被选择 \([k : k]_q\) 次，因此答案即为
\[\frac{[n:k]_q}{[k:k]_q} = \frac{[n]_q! / [n - k]_q!}{[k]_q! / [k - k]_q!} = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q
\]
\(\text{q-Lucas}\)？分圆多项式？\(\text{q-Pochhammer}\)？以后再说吧！
关于格路计数相关推论，知识限制了我的想象。
Reference:
[1]: SyadouHayami, q-analog（q-模拟）初探 ;
[2]: qwaszx, q-analog .
