闲话 23.1.31

闲话

symbolic method 写了 7k 了(
感觉能写很多的样子!

有人膜我 说我多项式全家桶就剩三道了
我当机立断说 这话显然 fake 我还特地核查了
然后那人想挂我来着 我就和他说:我特地核查了 你这话就是错的
他倒是来劲了
我倒要看看是谁挂谁

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符号化博客里 BE 在法典
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我给删了

杂题

今天模拟赛 T3 的弱化版是 Round #641 的题,部分分是那题
然后题解就写了啊:《之前 CF div1 D 原题,算是给⼤家送分了。》

?那我要是搬来这场的 F2 原题 是不是也给大家送了 100 分?
我希望我能搬来 CF1349F2 然后放在 T1 的位置呢!给大家送 100 分!

哦我懂了 题解的意思是除了我以外所有人都可以场切 CF1349D 的意思吧
那就是我的功夫不到家了
各位太强了 爆踩 tourist

CF1349D

\(n\) 个人, 第 \(i\) 个人有 \(a_i\) 个饼干。每次随机选择一个饼干, 将其随机分配给除了它现在所有者的其他 \(n-1\) 个人。求使得一个人拥有所有饼干的期望步数, 对 \(998244353\) 取模。

\(n\le 5\times 10^6, \sum a_i \le 10^7\)

\(P[X_i]\) 为最后饼干全在第 \(i\) 个人处的概率,\(E[X_i]\) 为这一部分概率下的期望步数。
答案即为 \(\sum_{i= 1}^n E[X_i]\)。也可以发现 \(\sum P[X_i] = 1\)

\(E_0[X_i]\) 为只有当饼干全在第 \(i\) 个人处时游戏才能结束的情况下,饼干全在第 \(i\) 个人处的期望步数。

我们发现,\(E_0[X_i]\) 是好求的,因此我们寻找用 \(E_0[X_i]\) 表示 \(E[X_i]\) 的方案。这时就必须考虑到另一个人 \(j\) 拿到所有饼干的情况,并从这种情况转移。可以发现 \(\forall i, j\),把所有饼干从 \(i\) 处转移到 \(j\) 的期望步数是相同的,记作 \(C\)

我们可以确定 \(i\),枚举 \(j\),写出

\[E[X_i] = E_0[X_i] - \sum_{j \neq i} \left( P[X_j]\times C + E[X_j] \right) \]

也就是

\[\sum_{j = 1}^n E[X_j] = E_0[X_i] - \sum_{j \neq i} P[X_j]\times C \]

我们记 \(\text{ans} = \sum_{i= 1}^n E[X_i]\),并两边对 \(i\) 求和得到

\[n\times \text{ans} = \sum_{i = 1}^n E_0[X_i] - C(n - 1) \sum_{j = 1}^n P[X_j] = \sum_{i = 1}^n E_0[X_i] - C(n - 1) \]

因此我们只需要求得每个 \(E_0[X_i]\)\(C\)

发现每个人本质上是等价的,因此我们可以只记录 \(f(k)\) 为某个人最开始手中有 \(k\) 块饼干的情况下取得所有饼干的期望。可以发现 \(E_0[X_i] = f(a_i), C = f(0)\)

然后我们只需要讨论各种情况并转移即可。设 \(m = \sum a_i\),不难得到

\[f(k) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{n - 1} f(k + 1) + \frac{n - 2}{n - 1} f(k) + 1 \ , && k = 0 \\ & \frac{m - k}{m} \left( \frac{1}{n - 1} f(k + 1) + \frac{n - 2}{n - 1} f(k) \right) + \frac{k}{m} f(k - 1) \ , && 0 < k < m \\ & 0 \ , && k = m \end{aligned} \right. \]

下面关注 \(0 < k < m\) 的情况对应的式子。可以发现左右两侧 \(f\) 的系数之和都为 \(1\),因此如果将 \(f\) 做差分则这个式子能应用在差分上,求和号内与 \(k - 1, k, k + 1\) 无关的项都可以消去。

我们设 \(g(i) = f(i) - f(i + 1), g(m) = 0\),则 \(f(k) = \sum_{i = k}^m g(i)\)。这样带入式子能得到

\[\sum_{i = k}^m g(i) = \frac{m - k}{m} \left( \frac{1}{n - 1} \sum_{i = k + 1}^m g(i) + \frac{n - 2}{n - 1} \sum_{i = k}^m g(i) \right) + \frac{k}{m} \sum_{i = k - 1}^m g(i) \]

化简得到

\[g(k) = 1 + \frac{(m - i) (n - 2)}{m (n - 1)} g(k) + \frac{k}{m} (g(k) + g(k - 1)) \]

移个项得到

\[g(i) = \frac{m(n - 1) + i(n - 1) g(i - 1)}{m - i} \]

可以直接视 \(g(-1) = 0\)\(g(0)\) 可以直接带入得到值为 \(n - 1\)

直接计算即可,不难从 \(g\) 得到答案。

总时间复杂度 \(O(n + m)\)

鞅和停时定理等 symbolic method 写完再说吧(

Submission.

posted @ 2023-01-31 16:08  joke3579  阅读(72)  评论(1编辑  收藏  举报