闲话 23.1.24

闲话

不知道该写啥了欸~
那就随便写写吧！

祝贺 jjdw 参与的洛谷大月赛成功举办！
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指导：jijidawang

今日推歌：Aster - 春卷饭 feat.初音未来

闲话

今天做题时看到这么一个东西

\[T(n, k) = \sum_{i = 0}^k T(n - 1, i) \qquad T(0, 0) = 1, T(n, m) = 0 \text{ s.t. } n < m \]

这个东西你第一眼看上去就很可对第二维求和，然后每次卷上一个 \(\dfrac{1}{1 - x}\)。其实这是错的。考虑 \(\dfrac{1}{1 - x}\) 是前缀和，因此在任意 \(T(n, m) = 0 \text{ s.t. } n > m\) 的位置都有值，直接做容易把最后一个位置算多次贡献。

我们可以给他编一个组合意义出来。\(T(n, k)\) 就是值域为 \([1, n]\)、长度为 \(k\)、可以被拆成两个下降序列的不重复序列，且不在序列中值域内的最大数字小于这两个下降序列末尾数字中的较大值。
当然这个组合意义就是我今天看到的。还有一些更广泛的组合意义，接下来会慢慢讲到。

这个数列是 A9766，页面里给出了几个有意思的组合意义和公式。

这篇论文里定义了一个组合意义。
作者通过 Shapiro 的 Catalan triangle 引出了一种新定义，但是这个新定义和 Shapiro 的论文没太大关系。这种定义关于格路计数。我们的行走方式是向上或向右，对应的路径应当不越过 \(y = x\) 这条直线，定义 \(C(n, k)\) 计数从 \((0, 0)\) 走到 \((n, k)\) 的路径。
我们可以观察到，终止在 \((n + 1, k)\) 点的路径可以被拆分为终止在 \((n, j) \text{ s.t. } 0\le j \le k\) 的路径，随后只需要固定地向右一步，向上 \(k - j\) 步即可。
这种计数自然地导出了 \(C(0, 0) = 1, C(n, m) = 0 \text{ s.t. } n < m\)，并且可以得到

\[C(n, k) = \sum_{i = 0}^k C(n - 1, i) \]

可以发现 \(C\) 和 \(T\) 是同构的。
转化到格路计数上就能方便地求得通项公式了，也就是 \(\dbinom{n + k}{n} - \dbinom{n + k}{n + 1}\)。可以发现当 \(n = k\) 时退化到卡特兰数上。
还有一种通项公式是 \(\dfrac{n + 1 - k}{n + 1}\dbinom{n + k}{n}\)，也就是把上面那个数字提取一个公因式得到的。
上面的通项公式是通过构造双射得到的，这里有讲解。

这个数列又常被称作 ballot numbers。这玩意也是可以作 analog 的，相关知识可以查阅此论文得到。

我们能否构造这个东西的生成函数？

大概是有些用的进阶资料吧