闲话 23.1.22

闲话

拜年祭……怎么说呢……中规中矩吧？
没有太多惊艳的演出 也有点炒冷饭的味道
我能做到的是被里面的话语感染到
和看到一些作品后高兴地在椅子上乱动
有很多”有深度的人文作品“
总感觉就是从这里开始不对劲的。

多项式全家桶题单：

今天大年初一！祝大家新年快乐！
之前都是拜早年 现在才是正式的新年快乐！

EI 推荐了一版绝体绝命 早上听了 好听！
绝体绝命 - 乐正绫 AI

多项式三角函数

就是应用高数相关知识得到一些形式三角函数的表达式。

容易直接写出 \(\sin(x)\) 和 \(\cos(x)\) 的麦克劳林级数：

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]

\[\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \]

我们并无法通过多项式复合得到 \(\sin(F(x))\)，这是由于 \(\sin(x)\) 没法被表示为简单多项式的复合。因此我们需要通过一些易于复合的多项式表出它们。

考虑 \(e^x\) 的麦克劳林级数：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

我们如果能让 \(\sin(x)\) 和 \(\cos(x)\) （在某个域上）的线性组合能表出 \(e^x\)，那我们就可以简单地通过配凑系数用 \(e^x\)（在这个域内）表出 \(\sin, \cos\)。

具体地，我们考虑用 \(\sin(x)\) 和 \(\cos(x)\) 直接相加的结果和 \(e^x\) 来比较系数。我们应当让这两个级数的各项彼此分离，所以不妨构造一类二维交换结合域，记二元数单位是 \(i\)。不妨设线性组合是 \(\cos(x) + i\sin(x)\)，则它的麦克劳林级数是

\[1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \]

根据这个形式，不妨直接展开 \(e^{ix}\)，能得到

\[e^{ix} = 1 + ix + \frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \frac{i^6x^6}{6!}\cdots \]

可以得到 \(i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1\)，因此可以知道 \(i\) 是虚数单位 \(\sqrt{-1}\)。因此我们也能知道，最开始构造的域就是复数域 \(\mathbb C\)。

于是我们能得到经典的欧拉公式：

\[e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]

其中 \(i = \sqrt{-1}\)。也可以知道 \(e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x)\)。

自然能得到

\[\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\qquad\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]

考虑我们如何将 \(i\) 投射在 \(\mathbb F_{p}\) 域内。可以发现，\(i\) 也是 \(x^4 = 1\) 的根，即 \(\omega_4^1\)。假设 \(g\) 是 \(p\) 的原根，我们能表出 \(i = g^{(p - 1) / 4}\)。

最后只需要带入 \(F(x)\)，求一下 \(\exp\) 即可。总时间复杂度 \(O(\text M(n))\)，或采用半在线卷积得到更快的实现。

Submission.

反三角函数大概要比三角函数前置知识简单一些。

众所周知，反三角函数的导数形式简单，因此我们可以求导再积分。

\[\arcsin(F(x)) = \int \left(\arcsin(F(x))\right)'\text dx = \int F'(x) \left(\arcsin(x)\right)'\text dx = \int \frac{F'(x)}{\sqrt{1 - F^2(x)}} \text dx \]

\[\arctan(F(x)) = \int \left(\arctan(F(x))\right)'\text dx = \int F'(x) \left(\arctan(x)\right)'\text dx = \int \frac{F'(x)}{1 + F^2(x)} \text dx \]

直接做就行了。

Submission.

code

inline poly sin() const {
	int omega_4 = qp(gen, (mod - 1) >> 2);
	poly F = ((*this) * omega_4).exp();
	return qp(omega_4 * 2, mod - 2) * (F - F.inv());
}
inline poly cos() const {
	int omega_4 = qp(gen, (mod - 1) >> 2);
	poly F = ((*this) * omega_4).exp();
	return qp(2, mod - 2) * (F + F.inv());
}
inline poly tan() const { 
	return sin() * cos().inv(); 
}
inline poly asin() const {
	poly A = deri(), B = (*this) * (*this); B.resize(size());
	B = (1 - B).ivsqrt();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}
inline poly acos() const {
	poly A = (mod - 1) * deri(), B = (*this) * (*this); B.resize(size());
	B = (1 - B).ivsqrt();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}
inline poly atan() const {
	poly A = deri(), B = 1 + (*this) * (*this); 
	B.resize(size()); B = B.inv();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}