闲话 23.1.22

闲话

拜年祭……怎么说呢……中规中矩吧？
没有太多惊艳的演出 也有点炒冷饭的味道
我能做到的是被里面的话语感染到
和看到一些作品后高兴地在椅子上乱动
有很多”有深度的人文作品“
总感觉就是从这里开始不对劲的。

多项式全家桶题单：

今天大年初一！祝大家新年快乐！
之前都是拜早年 现在才是正式的新年快乐！

EI 推荐了一版绝体绝命 早上听了 好听！
绝体绝命 - 乐正绫 AI

多项式三角函数

就是应用高数相关知识得到一些形式三角函数的表达式。

容易直接写出 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 的麦克劳林级数：

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

我们并无法通过多项式复合得到 $\sin(F(x))$，这是由于 $\sin(x)$ 没法被表示为简单多项式的复合。因此我们需要通过一些易于复合的多项式表出它们。

考虑 $e^x$ 的麦克劳林级数：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

我们如果能让 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ （在某个域上）的线性组合能表出 $e^x$，那我们就可以简单地通过配凑系数用 $e^x$（在这个域内）表出 $\sin, \cos$。

具体地，我们考虑用 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 直接相加的结果和 $e^x$ 来比较系数。我们应当让这两个级数的各项彼此分离，所以不妨构造一类二维交换结合域，记二元数单位是 $i$。不妨设线性组合是 $\cos(x) + i\sin(x)$，则它的麦克劳林级数是

$$1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

根据这个形式，不妨直接展开 $e^{ix}$，能得到

$$e^{ix} = 1 + ix + \frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \frac{i^6x^6}{6!}\cdots$$

可以得到 $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$，因此可以知道 $i$ 是虚数单位 $\sqrt{-1}$。因此我们也能知道，最开始构造的域就是复数域 $\mathbb C$。

于是我们能得到经典的欧拉公式：

$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$

其中 $i = \sqrt{-1}$。也可以知道 $e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x)$。

自然能得到

$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\qquad\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$$

考虑我们如何将 $i$ 投射在 $\mathbb F_{p}$ 域内。可以发现，$i$ 也是 $x^4 = 1$ 的根，即 $\omega_4^1$。假设 $g$ 是 $p$ 的原根，我们能表出 $i = g^{(p - 1) / 4}$。

最后只需要带入 $F(x)$，求一下 $\exp$ 即可。总时间复杂度 $O(\text M(n))$，或采用半在线卷积得到更快的实现。

Submission.

反三角函数大概要比三角函数前置知识简单一些。

众所周知，反三角函数的导数形式简单，因此我们可以求导再积分。

$$\arcsin(F(x)) = \int \left(\arcsin(F(x))\right)'\text dx = \int F'(x) \left(\arcsin(x)\right)'\text dx = \int \frac{F'(x)}{\sqrt{1 - F^2(x)}} \text dx$$

$$\arctan(F(x)) = \int \left(\arctan(F(x))\right)'\text dx = \int F'(x) \left(\arctan(x)\right)'\text dx = \int \frac{F'(x)}{1 + F^2(x)} \text dx$$

直接做就行了。

Submission.

code

inline poly sin() const {
	int omega_4 = qp(gen, (mod - 1) >> 2);
	poly F = ((*this) * omega_4).exp();
	return qp(omega_4 * 2, mod - 2) * (F - F.inv());
}
inline poly cos() const {
	int omega_4 = qp(gen, (mod - 1) >> 2);
	poly F = ((*this) * omega_4).exp();
	return qp(2, mod - 2) * (F + F.inv());
}
inline poly tan() const { 
	return sin() * cos().inv(); 
}
inline poly asin() const {
	poly A = deri(), B = (*this) * (*this); B.resize(size());
	B = (1 - B).ivsqrt();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}
inline poly acos() const {
	poly A = (mod - 1) * deri(), B = (*this) * (*this); B.resize(size());
	B = (1 - B).ivsqrt();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}
inline poly atan() const {
	poly A = deri(), B = 1 + (*this) * (*this); 
	B.resize(size()); B = B.inv();
	return (A * B).intg().slice(degree());
}