闲话 22.10.5

闲话

所以DTOI R2终于结束了
我看你们还有什么法拿我开涮

罪证

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我又复述了一遍
lyin过来了
“这是啥？……lyin都是……fengwu？”
我：“啊对对对对对对对对对”
“啥意思啊这”
“您聚，所以……人多！您心里面装着的人比较的多（笑）（笑）”
“……你是在什么精神状态下说出这句话的”

然后感受了一下lyin的前装甲板
真的 外面秋季校服 里面夏季校服 再里面是秋衣 最里面是厚背心

突然想到有人给白傻子寄装甲板
以及cod战区 给自己加护甲是从前胸塞进去的动作
突然蚌埠住了

CF1515E
这题听说有 \(O(n\log n)\) 的代数工业做法 有谁能给我讲讲吗

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有人说我没图，我全都防出去了啊，然后就是一张上琴桥

ひとりのファンタジー 涙はいらない

センセーションだけが私なのだ

夢色のファンタジー パパは気付けない

これで最後の夜になる

杂题

CF1654F

给定一个长度为 \(2^n\)，只包含小写字母的字符串 \(s\)。你可以将字符串的下标全部异或一个 \([0,2^n)\) 的整数 \(k\)，即构造一个与 \(s\) 等长的新字符串 \(t\)，使得 \(t_i=s_{i\oplus k}\)。最小化 \(t\) 的字典序，并输出字典序最小的 \(t\)。

\(n\leq 18\)。

模拟赛考了。
数据不是cf上的，很水，被我的贪心水过了，5ms，很快

现在写一下正解。

首先瞪眼可以看出一个性质。我们可以通过操作 \(k\) 的第 \(i\) 位的 01 性来将生成序列每 \(2^i\) 段的前半部分和后半部分交换。形式化地，我们令 \(f(k,i)\) 表示由 \(k\) 生成的子序列前 \(2^i\) 个元素的值，上面的性质可以被表为：\(f(k,i)\) 即为 \(f(k,i-1)\) 和 \(f(k \ \text{xor}\ 2^{i-1}, i-1)\) 的拼接。

证明

首先考察 \(k\) 的二进制只有第 \(i\) 位为 1 的情况。容易发现此情况生成的序列满足下标二进制第 \(i\) 位为 1 的部分与其余位相同但二进制第 \(i\) 位为 0 的部分交换了。
对该过程施归纳法可得如上结论。

然后我们发现这个玩意的第二维在指数上。所以想到倍增。
我们设当前已经确定完前 \(i-1\) 位，现在确定第 \(i\) 位。我们发现当确定该位时前 \(i-1\) 位确定下来的段的相对顺序不会发生改变，因此考虑把原序列按 \(2^i\) 划分成段，按字典序排序后得到一段的排名，用排名替代这一段向后递归。
可以发现这样操作也可以做到查询字典序第 \(k\) 小的 \(t\)。因此加强题目也不是不可以

总时间复杂度为 \(O(n^2\ 2^n)\)，因为每一位都需要进行一次排序，使用快速排序的复杂度是 \(O(2^n \log (2^n)) = O(n 2^n)\)。如果你学过SA可以拿过来那里面的双关键字基排，复杂度被优化到 \(O(n2^n)\)，数据范围被优化到 \(n\le 21\)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = (1<<18) + 10;
int n, len, a[N], t[N], v[N], l;
char ch[N];

bool cmp(const int & a, const int & b) { if (v[a] == v[b]) return v[a ^ l] < v[b ^ l]; return v[a] < v[b]; }

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> ch;
    len = 1 << n;
    for(int i = 0; i < len; i++) a[i] = i, v[i] = ch[i] - 'a';
    sort(a, a+len, cmp);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        l = (1<<i);
        sort(a, a+len, cmp);
        int cnt = 0;
        for (int j = 0; j < len; ++j) {
            if (j == 0 or cmp(a[j-1], a[j])) t[a[j]] = ++cnt;
            else t[a[j]] = cnt;
        } 
        for (int j = 0; j < len; ++j) v[j] = t[j];
    }
    for (int i = 0; i < len ; i++) cout << ch[i ^ a[0]];
}