闲话 22.8.3

闲话

今天七点改完题欸 毕竟是早上的题
考场上打挂吉司机线段树 我可真行
上来想维护最小值应该下推 然后写了棵无限递降法的线段树 10pts

对了最近老是想到《约定》于是把歌词放一下
总感觉放了歌词这篇闲话的目的就达成了呢

两个人的约定

遠い夏の小さな記憶は
那个远夏的小回忆
靴ひもを結んであげるところから
是从为你系好鞋带的时候
始まるのだ
开始的
大切に
那是一些我们
失くさずに
没有丢失掉
忘れずに
没有遗忘掉
抱きしめておいた物語
紧紧抱住的珍奇物语

...世話のやけるひとだからね ...
你可是个不让人省心的孩子呢
「ふたりはひとつ」と言えるかもね
或许也可以说是“合二为一”吧
驚くほど
一尘不染得
無垢にまみれ
令人惊讶
桃色と藍色は
粉色和蓝色
手を繋いで
手牵着手

小さな身体が約束をしたら
幼小的身体许下了约定
ひとつのゆがみも
哪怕心存芥蒂
為す術無く純粋だ
亦能完全信任彼此
恋のコの字も知らないからさ
连恋爱的恋字都不知道怎么写
ふたりは世界で
两人是世界上
一番穢れなくいられる
最纯洁的纯在

藍の鐘は午後五時に響く
回家的钟声于傍晚五点响起
あの日だけふたりは家を抜け出して
就在那一天，两人离家出走了
見たことも無い夜の先
未曾见过的夜色的前方
世界の秘密を知ろうとした
试着去寻找世界的秘密
忘れないで夢じゃないよ
可别忘记了啊这不是梦境
ふたつの眼には
两人的瞳孔里
流れ星が
映出了流星

大きな翠の尻尾をひいて
翠绿色的大尾巴划动着
祈りも願いも
承载了祈祷，心愿
何もかもを乗せている
许多许多
こどものままでいられるならば
若能永远当个孩子
もう一度どこかで
总有一天能在某个地方
巡り合う気がした
再次相遇

命は綺麗なわけじゃない
生命中并不总是充斥着美好
美しい人生なんてない
美丽人生什么的只是泡沫
呼吸が上手く出来ないのは
没有办法顺畅地大口呼吸是
生きてる証拠だ
活着的证明

小さなふたりは知らないけれど
即使幼小的两个人还青涩懵懂
世界はゆめゆめ
也知道难以在这个世界里
眠ることも出来ないぞ
安然入眠
こんな物語を忘れるくらいなら
倘若终将会遗忘掉这些故事
大人のオの字を
长大成人
知りたくもないのさ
也没什么好稀罕的

約束したのだ
在流星之下
流れ星の下で
许下约定

扫了一眼似乎确实很多词不记得了 明明之前完全会唱的
我完全记得住

♪ ~ 「ふたりはひとつ」と言えるかもね ~ ♪
总是想拿这句话吐槽来着

我承认我看不懂min25筛 dajijiwang太强了

说起来我在洛谷上公布闲话时链接名似乎一直是想要仿照学生会的一己之见起的（

关于斯特林

加特林

一共有两类斯特林数，第一类斯特林数和第二类斯特林数。
两类斯特林数可以互相反演 所以在组合学里有重要意义

关于第一类斯特林数 \(s(n,m)\) or \({{n} \brack{m}}\)

它的组合意义是将 \(n\) 个互不相同的元素构成 \(m\) 个圆的方案数。
不常用，一般是反演才出现的，而且没有通项公式 比较恶心
递推式推导一下：假说我们已经有了 \(n-1\) 个元素构成 \(m-1\) 个环，则新的一个元素必须独立成一个环，系数是1。假说我们已经有了 \(n-1\) 个元素构成 \(m\) 个环，则新的一个元素必须插入其中一个元素的前面，系数是 \(n-1\)。因此有递推式：

\[{{n} \brack{m}} = {{n-1}\brack{m-1}} + (n-1) \times {{n-1}\brack{m}} \]

性质：

1. \(s(n, n) = 1, n \in N\)。
2. \(s(n, 0) = 0, n \neq 0\)。
3. \(s(n, 1) = (n-1)!\)
4. \(s(n, n-1) = \binom n 2\)。

关于第二类斯特林数 \(S(n,m)\) or \({{n} \brace{m}}\)

它的组合意义是将 \(n\) 个互不相同的元素划分成 \(m\) 个非空集合的方案数。
各式盒子放球模型的求解方案，它的定义就是 \(n\) 个不同的球放进 \(m\) 个相同盒子的方案
递推式推导一下：假说我们已经有了 \(n-1\) 个元素构成 \(m-1\) 个集合，则新的一个元素必须独立成一个集合，系数是1。假说我们已经有了 \(n-1\) 个元素构成 \(m\) 个环，则新的一个元素可以随意插入一个集合，系数是 \(m\)。因此有递推式：

\[{{n} \brace{m}} = {{n-1}\brace{m-1}} + m \times {{n-1}\brace{m}} \]

通项公式（推导）：

\[{{n} \brace{m}} = \sum_{i = 0} ^m \frac{(-1) ^ {m-i} i^n}{ i! (m-i)!} \]

另一个公式：

\[{n \brace m} = \frac{1}{m!} \sum_{i = 0}^m (-1)^i \binom{m}{i} (m - i)^n \]

于是你可以 \(O(n + m)\) 算单项了。

斯特林反演

形如：

\[f(k) = \sum_{i = 1}^k {k \brace i} g(i) \quad \Leftrightarrow \quad g(k) = \sum_{i = 1}^k (-1) ^ {k - i} {k \brack i} f(i) \]

我们为什么需要它？
考虑一道题，你想要答案 \(f\) 在 \(n = n_0\) 时的值，但是你没法突然地算出这个值。然后你发现这个题可以被归约到集合划分问题上来。考虑容斥，首先构造一个所有方案数的表示 \(g\)，它定可以被所有集合划分即 \(\sum f_i\) 表出（而且得好算），然后你发现这容斥系数是斯特林数。直接反演即可。有一道例题，昨天闲话 \(T3\)。