闲话 22.7.31 + 22.8.1

闲话 on 8.1

因为想搞网络流所以懒得再开一个了。于是就在这写吧。

站在四五楼之间的挂式楼梯里，听到了从铁与锈间传来的蝉鸣。突然就理解了蝉噪林逾静。感觉到心灵被放逐到了很远的地方，备受洗涤。其实我很喜欢一个人呆着，有人邀我去玩狼人杀的话我会婉言谢绝。倒不如说是我就喜欢圈地自萌。很多时候会止不住地说很多早就知道没有人会理解的话。当然如果有人和我疯的话我也会很乐意，但是心里总是有那么一个早就知道没人能理解的我。

总是想起《幻影》。歌词写得很好。曲也是。
又想到以前在 [心灵大受触动] 时总会默默地唱《若能化作彗星》。这似乎像是自卑，但又不是。大概只是对命运的议论。
又想到《美影日记》。饭总是能很精准地用歌的语言描述心灵。

话又说回来，某人说自己不喜欢饭，是因为他的歌风格太静谧了。我不是很理解。要是说的话，我算是一个很喜欢安静的人。安静能让人想到很多。而且饭也不止会一种风格嘛。都来听春卷饭的歌啊啊啊
对于我的作品 我能保证发病就是发病 正常就是正常 所以我的作品还算中高水平（

某apj最近在吐槽B站的粉丝量（
我似乎还没20 apj太强了

闲话 on 7.31

感觉最近看闲话的人少了。
我不太理解。以及为什么我阅读量最高的blog还是老周其人

场上直接写挂wa on 1 场下三分钟写完
这也算一种奇迹了吧
如果是IOI赛制的话

最近开始哼world.execute(me);了 虽然但是只会唱两句 主要是词记不住
但是都这么久了我还记得Mili的歌呢
我可是高性能——

Mirror Mirror我还记得两句 剩下的就不太记得了
主要是Mili的歌我也听得不多

好这首歌我还没想起来是啥
我甚至连已经想起来那两句都忘了
我基本上能确定是《幻影》里我没记歌词的一首歌
因为《两个人的》我都记住那首是那首了
然而怎么都想不起来 焯

翻了翻OI-Wiki上关于二次域的东西，我不太理解。里面谈到一件事：普通的整数环是每一个二次整环的理想。为啥？怎么可能？

明天就该0801了呢
355天后就该0721了呢（

反演乱写

莫比乌斯反演

一句话：\(\large\sum\limits_{d|n} \mu(d) = [n = 1]\) 。

简单得要死。当你看到互质的字眼时可以直接套公式。详见这篇博客。

二项式反演

一句话：\(\large\sum\limits_{k = 0} ^ n (-1) ^{k} \dbinom {n}{k} = [n = 0]\) 。

具体而言，有两种写法：

\[ \large\begin{aligned} & f(i) = \sum_{k = 0}^n \dbinom n k g(i) & \Leftrightarrow\quad\quad & g(n) = \sum_{k = 0}^n (-1) ^ {n - k} \dbinom n k f(i) \\ & f(i) = \sum_{k = 0}^n(-1) ^ {k} \dbinom n k g(i) & \Leftrightarrow\quad\quad & g(n) = \sum_{k = 0}^n (-1) ^ {k} \dbinom n k f(i) \end{aligned}\]

第一种可以直接通过已知推导的方式用 \(g\) 代换 \(f\)，稍微推推就出来了。第二种直接换元，就是第一种。

拉格朗日反演

这玩意是关于生成函数求系数的。不会所以没有一句话。

记 \([x^n] F(x)\) 为 \(F(x)\) 的 \(n\) 次项系数。若两个多项式 \(F(x)\) 与 \(G(x)\) 均无常数且一次项系数互为逆元，则称这两个多项式互为复合逆，同时有 \(F(G(x)) = G(F(x)) = x\)。此种情况下，有下式：

\[[x^n]F(x) = \frac 1 n [x^{-1}](\frac 1 {G(x)})^n = \frac 1 n [x^{n - 1}](\frac x {G(x)})^n \]

扩展拉格朗日反演：
若 \(F(x)\) 与 \(G(x)\) 互为复合逆，记 \(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 的导数，我们有

\[[x^n]H(F(x)) = \frac 1 n [x^{-1}]H'(x)(\frac 1 {G(x)})^n = \frac 1 n [x^{n - 1}]H'(x)(\frac x {G(x)})^n \]

反演变换

基本而言，当用到反演的时候，我们都能推出一个与答案或dp方程有关的公式，但正常计算就会爆掉一些东西，诸如时间空间和脑子。然后我们就需要抄一些小道，使用反演将难算的柿子化成简单的柿子。